11. $P(x)=x^2 -3x-7$이고 $Q(x),~R(x)$는 최고차 항의 계수가 $1$인 두 이차다항식이다. 하늘이가 세 다항식 $P(x)+Q(x)$,~$Q(x)+R(x)$,~$R(x)+P(x)$를 계산한 후 둘 씩 연립해보았더니 정확히 공통근이 하나씩 서로 다른 세 공통근이 존재했다. $Q(0)=2,~R(0)=\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.)
12. $m,~n$은 $1$보다 큰 두 홀수이고, $m \times n$모양의 직사각형을 $mn$개의 단위정사각형으로 나눈 다음 제일 위쪽의 행에
왼쪽에서 오른쪽으로 각 단위 정사각형에 $1$ 부터 $n$까지 써넣었다. 위에서 두 번째 행에도 왼쪽에서 오른쪽으로 각 단위 정사각형에 $n+1$부터 $2n$까지 써넣었고 같은 방식으로 숫자를 모두 채웠다. 그런데, $200$이 쓰인 단위 정사각형은 가장 위의 행에 있었고 $2000$이 쓰인 단위 정사각형은 가장 아래의 행에 있었으며 $200$과 $2000$이 쓰인 단위정사각형의 중심을 연결하면 $1099$가 쓰인 단위 정사각형과 만난다고 한다. 이를 만족하는 $(m,~n)$의 순서쌍의 개수를 구하시오.
13. $ABCDE$는 볼록오각형으로 $AB=5,~BC=CD=DE=6,~EA=7$이고, 내접원을 갖는 오각형이라고 한다. $ABCDE$의 넓이를 구하시오.
14. $\left \lfloor x \right \rfloor$은 $x$를 초과하지 않는 최대의 정수라고 하고, $\left \{ x \right \}= x- \lfloor x \rfloor$으로 $x$의 소수부분이라고 하자.
예를 들면 $\left \{ 3 \right \} =0,~\left \{ 4.56 \right \}=0.56$이 된다.
$f(x) = x \cdot \left \{ x \right \}$라고 할 때, $f(f(f(x)))=17,~0 \le x \le 2020$을 만족하는 실수해의 개수를 $N$이라 할 때,
$N$을 $1000$으로 나눈 나머지를 구하시오.
15. 예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $\omega$라 하고, $B,~C$를 각각 지나고 $\omega$와 접하는 접선이 $T$에서 만난다.
또, $X,~Y$는 $T$에서 $AB,~AC$에 각각 내린 수선의 발이다. $BT=CT=16,~ BC=22,~TX^2 +TY^2 +XY^2 =1143$일 때, $XY^2$의 값을 구하시오.