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아제르바이잔

2015 Azerbaijan JBMO TST Final 1. $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $ \left( (3a^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{b} \right)^2 \right) \left( (3b^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{c} \right)^2 \right) \left( (3c^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{a} \right)^2 \right) \ge 48^3$ 2. $2013^x +2014^y =2015^z$를 만족하는 음이 아닌 정수해를 모두 구하시오. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Day 3 1. $a,~b,~c, \in \mathbb{R}^+, a^2 +b^2 +c^2 = 48$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $a^2 \sqrt{2b^3 +16} + b^2 \sqrt{2c^2 +16} + c^2 \sqrt{2a^2 +16} \le 48^3$ 2. 칠판에 몇 개(두 개 이상)의 수가 적혀 있다. 매 순간 임의로 두 수를 선택하여 두 수의 곱을 두 수의 합으로 나눈 값을 적는다. (예를 들어 $a,~b$를 선택했으면 $\dfrac{ab}{a+b}$를 적는다.) 이와 같은 조작을 하나의 숫자가 남을 때 까지 계속해서 반복한다고 할 때, 마지막 숫자는 숫자를 선택하는 순서와 상관없음을 증명하시오. 3. 삼각형 $ABC$는 $AB \neq AC$이고 $BD$는 $\angle ABC$의 각의 이등.. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Day 2 1. $x,~y,~z \in \mathbb{R}^+_0, x+y+z=xyz$를 만족한다. 다음 부등식을 증명하시오. $2(x^2 +y^2 +z^2 ) \ge 3 (x+y+z)$ 2. $V,~Y,~Q,~A,~R$ 은 $1,~2,~3,~4,~5$를 적당히 재배열한 수이다. 다음 방정식의 모든 해를 구하시오. $\dfrac{(V+U+Q+A+R)^2}{V-U-Q+A+R} = B^{U^{Q^{A^{R}}}}$ 3. 삼각형 $ABC$는 $AB \neq AC$이고 $BC$의 중점을 $M$, 삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라 하자. $D$는 $AH$의 중점이고, $O$는 삼각형 $BCH$의 외심일 때, $DAMO$가 평행사변형임을 증명하시오. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Day 1 1. $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+.~a+b+c=1$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $\dfrac{7+2b}{1+a}+\dfrac{7+2c}{1+b}+\dfrac{7+2a}{1+c} \ge \dfrac{69}{4}$ 2. 예각삼각형 $ABC$는 $AB 더보기

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