2015 Azerbaijan JBMO TST Day 1

1. $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+.~a+b+c=1$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. 

 

$\dfrac{7+2b}{1+a}+\dfrac{7+2c}{1+b}+\dfrac{7+2a}{1+c} \ge \dfrac{69}{4}$

 

 

 

2. 예각삼각형  $ABC$는 $AB<AC<BC$ 이고, $ABC$의 외접원$X$의 중심이 $O$이고, 반지름이 $R$이다. $BD,~CE$는 $X$의 지름이며 $A$를 중심으로 하고 $AD$가 반지름인 원과 $BA$의 연장선의 교점을 $L$이라 하고, $A$를 중심으로 하고 $AE$가 반지름인 원과 $AC$의 교점을 $K$라 할 때, $EK$와 $DL$의 교점이 $X$위에 있음을 증명하시오. 

 

 

 

3. $A=1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot 2014$라고 하자. $A$의 일의 자리부터 $0$이 아닌 첫 번째 숫자를 구하시오. (단 $A \equiv 1 \pmod{3}$임을 이미 알고 있다.)

 

 

4. 다음을 만족하는 정수 $a, b$ 가 존재하지 않음을 증명하시오. 

 

1) $16a-9b$는 소수이다.

2) $ab$는 완전제곱수이다.

3) $a+b$ 또한 완전 제곱수이다.