2019 Canada National Olympiad

1. 한 평면위에 세 점 $A,~B,~C$가 $AB=BC=CA=6$을 만족하고 있다. 하늘이는 이미 그려진 임의의 세 점으로

   만들어지는 삼각형의 외심을 그릴 수 있다고 한다. 예를 들면 삼각형 $ABC$의 외심$O$를 그리고, 

   또, 삼각형$ABO$의 외심을 그릴 수 있다. 같은 방식으로 점을 계속 해서 그려나갈 수 있다. 

   다음 각 질문에 답하시오. 

 

1) 하늘이는 방금전에 그렸던 점으로 부터 거리가 $7$이상 떨어진 점을 그릴 수 있음을 증명하시오. 

2) 하늘이는 방금전에 그렸던 점으로 부터 거리가 $2019$이상 떨어진 점을 그릴 수 있음을 증명하시오. 

 

 

2. 정수 $a,~b$에 대해 $a^2 +3ab+3b^2 -1$이 $a+b^3$을 나누면 $a^2+3ab+3b^2 -1$을 $1$보다 큰 어떤

   세제곱수로 나누어짐을 증명하시오. 

 

 

3. 양의 정수 $m,~n$에 대해 $2m \times 2n$모양의 정사각형이 체스보드 처럼 색칠되어 있다. $mn$개의 

   말을 주어진 조건을 만족하도록 흰색 단위 정사각형에 배열하는 경우의 수를 구하시오. 

 

1) 각 단위 정사각형에는 많아야 하나의 말을 놓을 수 있다. 

2) 어떤 두 말도 대각선방향으로 이웃하지 않게 놓여 있다.(두 단위 정사각형이 꼭짓점을 하나 공유할때, 대각선으로 이웃한다고 한다.)

 

예를 들면  다음 그림은 $n=2,~m=3$일 때 주어진 조건을 만족하는 하나의 예이다. 

. 

4. $n$은 $1$보다 큰 정수이고, $a_0 ,~a_1 ,~ \cdots,~a_n$은 실수이고, $a_1 =0,~ a_{n-=1}=0$이다. 임의의 실수

    $k$에 대해 다음 부등식을 증명하시오. 

$|a_0|-|a_n| \le \sum_{i=0}^{n-2} |a_i - ka_{i+1} -a_{i+2}|$

 

 

 

 

 

5.  하늘이와 보름이는 평면위에 $n$개 의 점들을 선으로 연결하는 게임을 한다. 어떤 세 점도 일직선 위에 놓여 있지 않으며 각 사람은 자기 차례에 두 점을 선택하여 새로운 선을 그려야 한다. 홀수개의 변으로 둘러싸인 다각형을 먼저 그리는 사람이 지는 경기라고 한다. 하늘이가 먼저할 때, 하늘이가 필승전략을 가진 을 모두 구하시오.
(단, 다각형의 각변의 양끝점이 둘 다 주어진 개의 점이어야 하고, 선분을 연결하여 생기는 교점은 점이 아니며, $n$은 3이상의 자연수이다.)