2019 India National Mathematical Olympiad

1. 삼각형 ABC는 $\angle BAC =90^{\circ}$인 둔각 삼각형이다. 선분 $BC$위의 $D$와 직선 $AD$위의 $E$에 대해

   삼각형 $ACD$의 외접원이 $AB$와 $A$에서 접하고, $BE$는 $AD$와 수직이다. 

   $Ca=CD,~AE=CE$일 때, $\angle BCA$의 크기를 구하시오. 

 

 

2. $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1$은 정오각형이고, $ 2 \le n \le 11 $에 대해 $A_n B_n C_n D_n E_n$은 

  $A_{n-1} B_{n-1} C_{n-1} D_{n-1} E_{n-1}$의 중점을 연결하여 만든 오각형이다. $11$개의 각각의

  오각형의 다섯 꼭지점을 모두 빨간색과 파란색으로 임의로 색칠할 때, $55$개의 점 중 같은 색으로 색칠되어 있으며

  한 원위에 있는 네 점이 존재함을 증명하시오. 

 

 

3. 서로 다른 양의 정수 $m,~n$에 대하여 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립하기 위한 조건을 구하시오. 

   $\gcd(m,~n)+\gcd(m+1,~n+1) + \gcd(m+2,~n+2) \le 2|m-n|+1 $

 

 

 

4, $M>n^{n-1}$을 만족하는 양의 정수 $n,~M$에 대해 $p_j$가 $M+j (1 \le j \le n)$을 나누는 서로 다른  $n$개의

   소수 $p_1 ,~p_2 ,~\cdots,~p_n $이 존재함을 증명하시오. 

 

 

 

5. $AB$가 지름인 원 $\Gamma$와 $\Gamma$위의 $A,~B$가 아닌 점 $C$가 있다. $D$는 $C$에서 $AB$에 내린

   수선의 발이고, $K$는 $CD$위의 점으로 $AC$의 길이가 $ADK$의 둘레의 절반과 같게 되는 점이다.

   삼각형 $ADK$의 $A$에 대한 방접원이 $\Gamma$와 접하고 있음을 증명하시오. 

 

 

6. 함수 $~f~:~((x,~y)~:~ x,~y \in \mathbb{R}, xy \neq 0) \rightarrow \mathbb{R}^+$에서 정의되며 다음 조건을 모두 만족한다. 

   (1) $f(xy,~z)= f(x,~z) \cdot f(y,~z),~xy \neq 0$

   (2) $f(x,~yz)=f(x,~y) \cdot f(x,~z),~ xy \neq 0$

   (3) $f(x,~1-x)=1,~x \neq 0,~x \neq 1$

을 만족할 때, 다음을 증명하시오. 

   1. $f(x,~x)=f(x,~-x) =1,~x \neq 0$

   2. $f(x,~y) \cdot f( y \cdot x )=1,~xy \neq 0$