2019 British Round 1

1. $0,~1,~2,~ \cdots,~9$를 한 번씩 사용하여 다섯 개의 두 자리 자연수를 증가하는 순서대로 적을 때, 

   다섯 개의 수가 모두 $3$의 배수가 되는 경우의 수를 구하시오. 

 

 

2.  $n \ge 3$인 자연수 $n$에 대해 n-ring를 다음과 같이 정의한다. $n$개의 양의 정수를 원형으로 배열할 때,

    각각의 수에 대해 그 수와 인접한(양쪽에 각각 하나씩) 두 수와 그 수를 곱한 세수의 곱이 $n$이 되는 $n$개의

    양의 정수가 존재하면 n-ring라고 한다. $3 \le n \le 2018$중 n-ring인 수의 개수를 구하시오. 

 

3. Sam은 차가 $9$인 두 수를 곱했고, Sky는 차가 $6$인 두 수를 곱했다. 그런데 둘의 곱이 모두 T로 같았다고 할 때,

   가능한 T의 값을 모두 구하시오.

 

 

4.  $\Gamma$는 $AB$가 지름인 반원이다. $C$는 선분 $AB$위의 점이고, $E, D$는 호 $BA$위의 점으로 $E$는

    $B$와 $D$사이에 놓여 있다. $D$와 $E$에서 $\Gamma$에 그은 접선이 $F$에서 만나고

    $\angle ACD = \angle ECB$이면, $\angle EFD = \angle ACD + \angle ECB$임을 증명하시오.  

 

5. 두 닮음 인 원기둥이 있다. 두 원기둥의 높이의 합은 $1$이고, 겉넓이의 합은 $8 \pi$, 부피의 합은 $2 \pi$이다.

   두 원기둥으로 가능한 높이와 밑면의 반지름을 모두 구하시오. 

 

6. Sky는 좌표평면의 원점에 있다. 매분 동서남북중 하나를 선택하고, 그 방향으로 $1m$이동한다.

   $2108$분 후 Sky는 다시 원점에 도착했다고 할 때, 가능한 경로의 수를 $n$이라고 하자. 

   $n$을 나누는 가장 큰 $10$의 거듭제곱을 구하시오.