2018 British Round 1

1. 하늘이는 $365$를 $1,~2,~\cdots,~365$로 나눈 나머지를 각각 적었고, 보름이는 $366$을 $1,~2,~3,~366$으로 나눈 나머지를 적었다. 

   하늘이가 적은 숫자의 합을 $a$, 보름이가 적은 숫자의 합을 $b$라고 할때, $a$와 $b$중 누가 얼마나 더 큰지 구하시오. 




2. $100$일의 기간 동안 정확히 여섯명의  친구들은 각각 $75$일씩 수영장에 다녀갔다.
   
   적어도 다섯명이 수영한 날의 수를 $m$이라고 할 때, $m$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. 




3. $\triangle ABC$는 $AB=CA$이고, 변 $BC$가 가장 긴 변이다. $BC$위의 점 $N$이 $BN=AB$를 만족하며,
   
   $N$에서 $AB$에 내린 수선의 발을 $M$이라고 할 때, 직선 $MN$은 삼각형 $ABC의 둘레 길이를 이등분함을 증명하시오. 

 

4. 양의 실수 수열 $a_1 ,~a_2,~\cdots~$는 $a_1=1,~a_{n+1}  +a_n = \left(a_{n+1}-a_n \right)^2,~\in \in \mathbb{N}$으로 정의된다. 
   
   $a_{2017}$의 값으로 가능한 값의 개수를 구하시오. 

 

5. $2 \times 100$모양으로 배열된 $200$개의 단위 정사각형이 있다. 긴쪽 변을 따라서 한 칸 건너 하나씩 정사각형을 제거해서 만들어지는 $150$개의 단위 정사각형들로 만들어진 도형을 100-Comb라고 정의 하자. (즉, 100-Comb는 한줄에는 $1 \times 100$모양의 직사각형의 각 단위 정사각형 아래에 한 칸 건너 하나씩 단위 정사각형을 붙여서 만든 도형이다.)
   $200 \times 200$모양으로 배열된 $40000$개의 단위 정사각형이 있다. 이 큰 정사각형에 어떤 100-Comb도 놓을 수 없도록 $k$개의 단위 정사각형을 선택하려고 할 때, $k$의 최솟값을 구하시오. (단, 선택된 단위 정사각형을 100-Comb가 덮을 수 없다.) 

 

6. 하늘이는 $1$부터 $300$까지 번호가 붙여진 카드를 한 더미 가지고 있다. 한 번에 하나씩 카드를 선택하여 가로로 새롭게 배열하려고
   하며 새롭게 선택한 카드는 항상 오른쪽 끝에 놓는다.
   또, 새롭게 배열된 카드의 왼쪽으로 부터 오른쪽 $n$번째 카드까지의 합은 항상 $n$의 배수가 되어야 한다. 하늘이가 남겨진 카드중 어떤 카드를 뽑아도 $n$의 배수를 만들 수 없거나, 모든 카드를 뽑았을 때만 카드 뽑는 것을 멈춘다고 할때, 하늘이는 최소 몇 장의 카드를 뽑아야 하는가?