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AIME

2020 AIME 2 (11~15) 11. $P(x)=x^2 -3x-7$이고 $Q(x),~R(x)$는 최고차 항의 계수가 $1$인 두 이차다항식이다. 하늘이가 세 다항식 $P(x)+Q(x)$,~$Q(x)+R(x)$,~$R(x)+P(x)$를 계산한 후 둘 씩 연립해보았더니 정확히 공통근이 하나씩 서로 다른 세 공통근이 존재했다. $Q(0)=2,~R(0)=\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 12. $m,~n$은 $1$보다 큰 두 홀수이고, $m \times n$모양의 직사각형을 $mn$개의 단위정사각형으로 나눈 다음 제일 위쪽의 행에 왼쪽에서 오른쪽으로 각 단위 정사각형에 $1$ 부터 $n$까지 써넣었다. 위에서 두 번째 행에도 왼쪽에서 오른쪽으로 각 단위 정사.. 더보기
2020 AIME 2 (1번 ~10번) 1. $m^2 n=20^{20}$을 만족하는 양의 정수 쌍 $(m,~n)$의 개수를 구하시오. 2. 평면위의 네 점 $(0,~0),~(1,~0),~(1,~1),~(0,~1)$과 같은평면위의 점 $P$는 사각형 내부에 존재한다. $ \left( \dfrac{5}{8},~\dfrac{3}{8} \right)$과 $P$를 연결하는 직선의 기울기가 $\dfrac{1}{2}$보다 클 확률이 $\dfrac{m}{n}$일 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 3. $\log_{2^x}3^{20} = \log_{2^{x+3}}3^{2020}$을 만족하는 $x=\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다... 더보기
2020 AIME Ⅰ(9~15번) 9. 집합 $S$는 $20^9$의 모든 양의 약수를 원소로 갖는다. $S$에서 중복을 허락하여 세 수를 뽑아 $a_1 ,~a_2 ,~a_3$라 할 때, $a_1$이 $a_2$를 나누고, $a_2$가 $a_3$를 나눌 확률을 $\frac{m}{n}$이라 하자. 이때, $m$을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 10. 양의 정수 $m,~n$이 다음 조건을 만족한다. 1) $\gcd(m+n,~210)=1$ 2) $m^m$은 $n^n$의 배수이다. 3) $m$은 $n$의 배수가 아니다. $m+n$의 최솟값을 구하시오. 11. 정수 $a,~b,~c,~d$에 대해 $f(x)=x^2 +ax+b, g(x)=x^2 +cx+d$라 하자. $a, b, c$의 절댓값은 $10$을 초과하지 않으며 $.. 더보기
2020 AIME Ⅰ(1번~8번) 1. 아래 그림 $1$과 같이 $\triangle ABC$는 $AB=AC$이고, $D$는 선분 $AC$위에 $E$는 선분 $AB$위에 놓여 있으며 $AE=ED=DB=BC$를 만족하고 있다. $\angle ABC = \left(\frac{m}{n}\right)^{\circ} $라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 정수이다.) 2. 생략 3. 양의 정수 $N$을 $11$진법으로 나타내면 $\overline{abc}_{11}$이고, 팔진법으로 나타내면 $\overline{1bca}_8$이 된다. $N$의 최솟값을 십진법으로 나타낸 값을 구하시오. (단, $a,~b,~c$가 서로 다를 필요는 없다.) 4. 집합 $S$는 다음과 같은 성질을 만족하는 자연수 $N$을 원소로 갖.. 더보기
2018 AIME 대수 2018 AIME 1 2018 AIME 2 1. 일직선 위에 세 점 $A,~B,~C$가 순서대로 놓여 있다. $A$와 $C$는 $1800m$만큼 떨어져 있다. 하늘이는 보름이 보다 두 배 빠르게 달리고, 아름이는 하늘이보다 두 배 빠르게 달린다. 세 명이 $A$에서 동시에 출발하는데 하늘이는 $A$에서 출발해서 $C$를 향해 달리고, 아름이는 $B$에서 출발해서 $C$를 향해 달리고 보름이는 $C$에서 출발해서 $A$를 향해서 달린다. 보름이와 아름이가 만났을 때, 아름이는 방향을 $A$ 쪽으로 바꿔 달리기 시작했고, 아름이와 하늘이는 $B$에 동시에 도착했다고 한다. $A$와 $B$ 사이의 거리를 구하시오. 더보기
2018 AIME 기하 2018 AIME 1 4. $\triangle ABC,~AB=AC=10$이고, $BC=12$이다. 선분 $AB$ 위의 점 $D$와 선분 $AC$위의 점 $E$가 $AD=DE=EC$를 만족할 때, $AD$의 길이를 $\dfrac{p}{q}$라 하자. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,~q$는 서로 소인 정수이다.) 13. $\triangle ABC$는 $AB=30,~BC=32,~AC=34$이다. 선분 $BC$ 위의 점 $X$에 대해 $\triangle ABX,~\triangle ACX$의 내접원의 중심을 각각 $I_1 ,~I_2 $라 하자. $\triangle {A I_1 I_2}$의 넓이의 최솟값을 구하시오. 2018 AIME 2 4. 등각팔각형 CAROLINE가 $CA=RO=LI=NE = \sq.. 더보기
2018 AIME 1 - 11 $3^n \equiv 1 \pmod{11^2},~ 3^n \equiv 1 \pmod{13^2}$을 만족하면 된다. 먼저 $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$이 가장 작은 양의 정수이다. 그런데, $243 \equiv 1 \pmod{11^2}$을 만족해서 가장 작은 양의 정수가 $5$이고, $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$이므로, $3^{3k} = 27^{k} = (26+1)^{k} \equiv \pmatrix{k \\1} \times 26 +1 \equiv 1 \pmod{13^2}$ 을 만족해야 해서 $k$는$13$의 배수가 되어야 한다. 그러면 가장 작은 $n$은 $39$가 된다. 그래서 $n$은 $5$의 배수이고, $39$의 배수이므로, 가장 작은 $n$은 $195$가 된다. 더보기
2018 AIME 2 - 10 2018 AIME 2 - 10 $f(f(a)) = f(f(f(a)))$를 만족하고, $f(a)=a$이면 자명하다. 이때, $f(a)=b(\neq a)$라 하면$f(b)=f(f(b))$를 만족해야 한다. 그래서 $f(b)=b$이면 성립하고, $f(b)= c(\neq b)$라 하면$f(c)=c$를 만족해야 한다. 그래서 함수 $f$에 대해 $f(x)=x$를 만족하는 $x$의 개수를 기준으로 세어보자. 세 집합으로 나누어서 집합 $A$는 집합 $B$에 대응되고 집합 $B$는 집합 $C$에 대응되고, 집합 $C$는 자기 자신으로 대응 되는 개수를 구하면 된다. 편의상 $|A| + |B| +|C| = 5$이고, 순서 쌍으로 나타내기로 하자. $(3, 1, 1) =\begin{pmatrix} 5\\1\end{pma.. 더보기
2018 AIME1 12번 $3,~6,~9,~12,~15,~18$은 원소의 합이 $3$의 배수인 데 영향을 미치지 않는다. 나머지 수를 원소로 갖는 부분집합의 원소의 합이 $3$의 배수가 되는 개수를 세어 보자.약간의 치환을 이용하여 해결해보면 $i->2^i $으로 바꿨을 때, $i$가 홀수이면 $2^i$는 $3$으로 나눈 나머지가 $2$이고, 짝수이면 $3$으로 나눈 나머지가 $1$가 되어서 $1=2^0 , 2=2^1 , 4=2^2 , 5=2^3 , \cdots 17 = 2^{11} $로 치환하자. 그러면 각 부분집합의 원소의 합은 이진법으로 표현되며이때 원소의 합이 $0$부터 $4095$까지 각각 대응된다. 그래서 구하고자 하는 부분집합의 개수는 $1366$이며나머지 $3$의 배수는 각각에 대해 $2$가지 경우가 있으므로 $3.. 더보기
2018 AIME 2 - 8 더보기

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