2018 AIME 2 - 10

2018 AIME 2 - 10 

$f(f(a)) = f(f(f(a)))$를 만족하고, $f(a)=a$이면 자명하다. 이때, $f(a)=b(\neq a)$라 하면

$f(b)=f(f(b))$를 만족해야 한다. 그래서 $f(b)=b$이면 성립하고, $f(b)= c(\neq b)$라 하면

$f(c)=c$를 만족해야 한다. 그래서 

함수 $f$에 대해 $f(x)=x$를 만족하는 $x$의 개수를 기준으로 세어보자. 

세 집합으로 나누어서 집합 $A$는 집합 $B$에 대응되고 집합 $B$는 집합 $C$에 대응되고, 집합 $C$는 자기 자신으로 대응 되는 개수를 구하면 된다. 

편의상 $|A| + |B| +|C| = 5$이고, 순서 쌍으로 나타내기로 하자. 

$(3, 1, 1) =\begin{pmatrix} 5\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4\\1\end{pmatrix} \times 1^3  = 20 $

$(2, 2, 1) =\begin{pmatrix} 5\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix} \times1^2 \cdot 2^2 = 120 $

$(1, 3, 1) =\begin{pmatrix} 5\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4\\3\end{pmatrix} \times 1^3\cdot 3^1 = 60$

$(0, 4, 1) =\begin{pmatrix} 5\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4\\4\end{pmatrix} \times 1^4\cdot 4^0 = 5$

$(2, 1, 2) =\begin{pmatrix} 5\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\1\end{pmatrix} \times 2^1\cdot 1^2 = 60$

$(1, 2, 2) =\begin{pmatrix} 5\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\2\end{pmatrix} \times 2^2\cdot 2^1 = 240$

$(0, 3, 2) =\begin{pmatrix} 5\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\3\end{pmatrix} \times 2^3\cdot 3^0 = 80$

$(1, 1, 3) =\begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\1\end{pmatrix} \times 3^1\cdot 1^1 =60$

$(0, 2, 3) =\begin{pmatrix} 5\\3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\2\end{pmatrix} \times 3^2\cdot 2^0 =90$

$(0, 1, 4) =\begin{pmatrix} 5\\4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} \times 4^1\cdot 1^0 =20$

$(0, 0, 5) =\begin{pmatrix} 5\\5\end{pmatrix}  =1$ 

그러므로 구하고자 하는 순서 쌍의 개수는$756$개가 된다.