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수학올림피아드

2019 Nordic 1. 양의 정수로 이루어진 집합 $A$의 공집합이 아닌 부분집합의 원소의 산술평균과 기하평균이 모두 정수일 때, 조건을 만족하면 집합 $A$는 “Meaningful”라고 한다. 다음 각 물음에 답하시오. ⑴ $2019$개의 원소로 이루어진 Meaningful한 집합이 존재하겠는가? ⑵ 무한히 많은 Meaningful이 존재하겠는가? (단, 음이 아닌 실수 $a_{1},\: a_{2},\: \cdots ,\: a_{n}$의 기하평균은 $\sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$으로 정의 한다.) 2. $a,\: b,\: c$는 $c$가 빗변인 직각삼각형의 세 변이다. 다음 부등식을 증명하시오. $3 더보기
2020 South Africa 1. $a^{a}$가 $20^{19}$를 나누는 양의 정수 $a$를 모두 구하시오. 2. $10$부터 $99$까지 자연수가 각각 하나씩 쓰인 $90$장의 카드 더미를 가지고 있다. 이 더미에서 다음 조건을 만족하도록 세장 이상의 카드를 뽑는 경우의 수를 구하시오. 조건 : 하나의 숫자가 나머지 숫자의 합과 같으며, 또, 하나의 숫자를 제외한 나머지 숫자들은 모두 연속해야 한다. 3. 반지름이 $1$인 원 $O$위에 $A,\: B,\: C$가 $\angle BAC =45^{\circ}$를 만족하고 있다. $AC$와 $BO$(연장해서 만나는 것도 가능)의 교점이 $D$이고 $AB$와 $CO$$($연장해서 만나는 것도 가능)의 교점을 $E$라 하면 $BD \cdot CE =2$임을 증명하시오. 4. $64$개.. 더보기
2020 AIME 2 (11~15) 11. $P(x)=x^2 -3x-7$이고 $Q(x),~R(x)$는 최고차 항의 계수가 $1$인 두 이차다항식이다. 하늘이가 세 다항식 $P(x)+Q(x)$,~$Q(x)+R(x)$,~$R(x)+P(x)$를 계산한 후 둘 씩 연립해보았더니 정확히 공통근이 하나씩 서로 다른 세 공통근이 존재했다. $Q(0)=2,~R(0)=\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 12. $m,~n$은 $1$보다 큰 두 홀수이고, $m \times n$모양의 직사각형을 $mn$개의 단위정사각형으로 나눈 다음 제일 위쪽의 행에 왼쪽에서 오른쪽으로 각 단위 정사각형에 $1$ 부터 $n$까지 써넣었다. 위에서 두 번째 행에도 왼쪽에서 오른쪽으로 각 단위 정사.. 더보기
2020 AIME 2 (1번 ~10번) 1. $m^2 n=20^{20}$을 만족하는 양의 정수 쌍 $(m,~n)$의 개수를 구하시오. 2. 평면위의 네 점 $(0,~0),~(1,~0),~(1,~1),~(0,~1)$과 같은평면위의 점 $P$는 사각형 내부에 존재한다. $ \left( \dfrac{5}{8},~\dfrac{3}{8} \right)$과 $P$를 연결하는 직선의 기울기가 $\dfrac{1}{2}$보다 클 확률이 $\dfrac{m}{n}$일 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 3. $\log_{2^x}3^{20} = \log_{2^{x+3}}3^{2020}$을 만족하는 $x=\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다... 더보기
2020 Greece National Math Olympiad 1. 다음 조건을 만족하는 실계수 다항식 $P(x),~Q(x)$를 모두 구하시오. (단, $P(x), Q(x)는 상수가 아니다.) $P((Q(x))^3)=xP(x)(Q(x))^3 $ 2. 선분 $AB$와 $AB$위의 점 $C$에 대해 $AB= 3 \times AC$를 만족하고 있다. $AC=DE=CE>AE$를 만족하는 평행사변형 $ACD$를 그렸을 때, $AC$위의 점 $Z$는 $\angle AEZ = \angle ACE $를 만족한다고 할 때, $B$를 지나고 $EC$와 수직인 선과 $D$를 지나고 $AB$에 수직인 선과 직선 $EZ$가 한점에서 만남을 증명하시오. 3. 칠판에 $1,~2,~\cdots,~2030$까지 자연수가 증가하는 순서대로 쓰여있다. 이때 이 수열에 대해 다음과 같은 조작을 할 수.. 더보기
2020 Greece Junior Math Olympiad 1. 실수 $x$에 대해 다음 부등식의 해를 구하시오. $\dfrac{(x+2)^4}{x^3} -\dfrac{(x+2)^2}{2x} \ge -\dfrac{x}{16}$ 2. 예각삼각형 $ABC$가 $AB 더보기
2020 India National Mathematical Olympia 1. $\Gamma_1 ,~ \Gamma_2$는 반지름이 서로 다른 두 원으로 중심이 각각 $O_1 ,~O_2$이며 서로 다른 두 점 $a,~B$에서 만나고 있다. 두 원의 중심은 서로 다른 원의 외부에 있다고 할 때, $B$에서 $\Gamma_1$에 그은 접선이 $\Gamma_2$와 $(C \neq B)$에서 만나고 $B$에서 $\Gamma_2$에 그은 접선이 $\Gamma_1$과 $D(\neq B)$에서 만난다. $\angle DAB$와 $\angle CAB$의 이등분선이 $\Gamma_1 ,~\Gamma_2$와 각각 $X,~Y$에서 만날 때, $P,~Q$는 삼각형 $ACD$와 삼각형 $XAY$의 외심이라고 하자. $PQ$가 $O_1 O_2 $를 수직이등분함을 증명하시오. 2. $P(x)$는 실계수 .. 더보기
2020 British Mathematical Olympiad Round 2 1. 수열 $a_1,~a_2,~a_3,~\cdots,~$는 $a_1 >2$이고, 다음과 같이 정의 된다. $a_{n+1} = \dfrac{a_n (a_n -1)}{2},~n \in \mathbb N$ 이 수열의 모든항이 홀수가 되는 $a_1$의 값을 모두 구하시오. 2. 한 평면위에 적어도 네 점으로 이루어진 집합을 $S$라 하자. 집합 $S$의 어떤 세점도 일직선 위에 있지 않으며 $S$의 세점으로 만들어지는 모든 삼각형은 외접원의 반지름의 길이가 같다. 조건을 만족하는 모든 $S$의 집합에 대해 설명하시오. 3. $2019 \times 2019$모양의 격자판이 $2019^2$개의 단위정사각형으로 이루어져 있다. 각 단위 정사각형은 흰색 또는 검은색으로 색칠되어 있는데 $1 \le k \le 2019$.. 더보기
Hong Kong 2020 TST #2 Test 2 1. 예각삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 수심을 $H$라 하자. $AI$는 $\triangle ABC$의 외접원과 $M(\neq A)$에서 만나고 $IM$의 길이가 $\triangle ABC$의 외접원의 반지름과 같을 때, $AH \ge AI$임을 증명하시오. 2. 임의의 두 점사이의 거리를 재었을 때, 거리의 개수가 $k$개의 서로 다른 값이 되게 한 평면위에 $2019$개의 서로 다른 점을 놓을 때, $k \ge 44$임을 증명하시오. 3. 두 원 $\Gamma,~\Omega$ 는 서로 다른 두 점 $A, B$에서 만난다. $\Gamma$위의 점$P$에서 $\Gamma$에 그은 접선이 $\Omega$와 $C,~D$에서 만나때, (단, $D$는 $P$와 $C$ 사이에 있다.) $ABCD.. 더보기
Hong Kong TST 2020 #1 Test 1 1. 자연수 $n$에 대해 $n$의 모든 양의 약수를 $d_i,~(i=1,~2,~\cdots,~s)$라고 할 때, 다음을 만족하는 함수 $f~:~\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$에서 정의된 함수 $f$를 모두 구하시오. $f(d_1 ) \cdot f(d_2 ) \cdot \cdots \cdot f(d_s) = n$ 2. 삼각형 $ABC$ 내부의 임의의 한 점을 $D$라 할때, $\Gamma$는 $\triangle BCD$의 외접원이고, $\Gamma$는 $\angle ABC$의 외각의 이등분선과 $E(\neq B)$에서 만나고, $\angle ACB$의 외각의 이등분선과는 $F(\neq C)$에서 만난다. $EF$의 연장선이 $AB,~AC$와 각각 $P,~Q$에서.. 더보기

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