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수학올림피아드

2020 AIME Ⅰ(9~15번) 9. 집합 $S$는 $20^9$의 모든 양의 약수를 원소로 갖는다. $S$에서 중복을 허락하여 세 수를 뽑아 $a_1 ,~a_2 ,~a_3$라 할 때, $a_1$이 $a_2$를 나누고, $a_2$가 $a_3$를 나눌 확률을 $\frac{m}{n}$이라 하자. 이때, $m$을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 10. 양의 정수 $m,~n$이 다음 조건을 만족한다. 1) $\gcd(m+n,~210)=1$ 2) $m^m$은 $n^n$의 배수이다. 3) $m$은 $n$의 배수가 아니다. $m+n$의 최솟값을 구하시오. 11. 정수 $a,~b,~c,~d$에 대해 $f(x)=x^2 +ax+b, g(x)=x^2 +cx+d$라 하자. $a, b, c$의 절댓값은 $10$을 초과하지 않으며 $.. 더보기
2020 AIME Ⅰ(1번~8번) 1. 아래 그림 $1$과 같이 $\triangle ABC$는 $AB=AC$이고, $D$는 선분 $AC$위에 $E$는 선분 $AB$위에 놓여 있으며 $AE=ED=DB=BC$를 만족하고 있다. $\angle ABC = \left(\frac{m}{n}\right)^{\circ} $라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 정수이다.) 2. 생략 3. 양의 정수 $N$을 $11$진법으로 나타내면 $\overline{abc}_{11}$이고, 팔진법으로 나타내면 $\overline{1bca}_8$이 된다. $N$의 최솟값을 십진법으로 나타낸 값을 구하시오. (단, $a,~b,~c$가 서로 다를 필요는 없다.) 4. 집합 $S$는 다음과 같은 성질을 만족하는 자연수 $N$을 원소로 갖.. 더보기
2019 Junior Balkan MO TST Moldova 1. 양의 정수 $n$에 대해 집합 $A=\{1,~2,~\cdots,~n \}$라 하자. $A$에서 하나의 원소를 지우고 난 후 평균이 $\dfrac{439}{13}$이 되었다고 한다. $n$의 최솟값을 구하시오. 2. 수열 $a_n, (n \in \mathbb{N})$은 $a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}(a_n -1)$, 이라고 정의 하자. 임의의 자연수 $n$에 대해 $a_1$이 정수이면 $a_n$이 정수임을 증명하시오. 3. 예각삼각형 $ABC$의 외접원 $\Omega$라고 하자. $\triangle ABO$의 외접원과 $AC$의 교점을 $X$라고 할 때, $BC$와 $XO$가 수직임을 증명하시오. 4. $n(n \ge 2)$인 자연수에 대해 $a_1 ,~a_2 ,~\cdots,~a_n$은.. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Final 1. $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $ \left( (3a^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{b} \right)^2 \right) \left( (3b^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{c} \right)^2 \right) \left( (3c^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{a} \right)^2 \right) \ge 48^3$ 2. $2013^x +2014^y =2015^z$를 만족하는 음이 아닌 정수해를 모두 구하시오. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Day 2 1. $x,~y,~z \in \mathbb{R}^+_0, x+y+z=xyz$를 만족한다. 다음 부등식을 증명하시오. $2(x^2 +y^2 +z^2 ) \ge 3 (x+y+z)$ 2. $V,~Y,~Q,~A,~R$ 은 $1,~2,~3,~4,~5$를 적당히 재배열한 수이다. 다음 방정식의 모든 해를 구하시오. $\dfrac{(V+U+Q+A+R)^2}{V-U-Q+A+R} = B^{U^{Q^{A^{R}}}}$ 3. 삼각형 $ABC$는 $AB \neq AC$이고 $BC$의 중점을 $M$, 삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라 하자. $D$는 $AH$의 중점이고, $O$는 삼각형 $BCH$의 외심일 때, $DAMO$가 평행사변형임을 증명하시오. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Day 1 1. $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+.~a+b+c=1$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $\dfrac{7+2b}{1+a}+\dfrac{7+2c}{1+b}+\dfrac{7+2a}{1+c} \ge \dfrac{69}{4}$ 2. 예각삼각형 $ABC$는 $AB 더보기
2019 Greece Junior Balkan Mathematical Olympiad TST 1. $AB>AC$인 예각 삼각형이 중심이 $O$인 원에 내접하고 있다. $BC$의 중점 $D$에서 $AB$에 내린 수선(l)의 발을 $E$라 하자. $AO$와 $l$이 $Z$에서 만난다고 할 때, $A, Z, D, C$는 공원점 임을 증명하시오. 2. $3 \cdot 2^x +4 = n^2$을 만족하는 양의 정수 쌍 $(x, n)$을 모두 구하시오. 3. $a, b, c, \in \mathbb{R}^+$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $\dfrac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\dfrac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\dfrac{1}{ca(a+1)(b+1)} \ge \dfrac{3}{(1+abc)^3}$ 4. $8 \times 8$모양으로 배열된 $64$개의 단위 정사각형이 모두 흰색으로 색칠되.. 더보기
2019 British Round 2 1. 삼각형 ABC가 있다. 점 $B$를 지나고 $AB$와 수직인 선을 $L$이라 하고, $A$에서 $BC$에 내린 수선이 $L$과 만나는 점을 $D$라 하고, $BC$의 수직이등분선이 $L$과 만나는 점을 $P$라 하자. $D$에서 $AC$에 내린 수선의 발을 $E$라 할 때, $\triangle BPE$는 이등변삼각형임을 증명하시오. 2. 양의 정수 $n$에 대해 $n^4$개의 단위 정사각형으로 구성된 $n^2 \times n^2$모양의 체스보드에 $n^2$개의 마법체스 조각을 적당히 배열한다. 신호가 울리면 모든 체스조각들은 체스보드의 다른 단위 정사각형으로 이동하며 원래 있던 정사각형과 이동한 정사각형의 중심 사이의 거리는 $n$이다. 만약 이전 신호가 울리기 전과 후 모두 같은 행과 같은 열에 .. 더보기
2019 India National Mathematical Olympiad 1. 삼각형 ABC는 $\angle BAC =90^{\circ}$인 둔각 삼각형이다. 선분 $BC$위의 $D$와 직선 $AD$위의 $E$에 대해 삼각형 $ACD$의 외접원이 $AB$와 $A$에서 접하고, $BE$는 $AD$와 수직이다. $Ca=CD,~AE=CE$일 때, $\angle BCA$의 크기를 구하시오. 2. $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1$은 정오각형이고, $ 2 \le n \le 11 $에 대해 $A_n B_n C_n D_n E_n$은 $A_{n-1} B_{n-1} C_{n-1} D_{n-1} E_{n-1}$의 중점을 연결하여 만든 오각형이다. $11$개의 각각의 오각형의 다섯 꼭지점을 모두 빨간색과 파란색으로 임의로 색칠할 때, $55$개의 점 중 같은 색으로 색칠되어 있으며 한 원위에.. 더보기

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