2020 AIME Ⅰ(9~15번)

9. 집합 $S$는 $20^9$의 모든 양의 약수를 원소로 갖는다. $S$에서 중복을 허락하여 세 수를 뽑아 

    $a_1 ,~a_2 ,~a_3$라 할 때, $a_1$이 $a_2$를 나누고, $a_2$가 $a_3$를 나눌 확률을 

    $\frac{m}{n}$이라 하자. 이때, $m$을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.)

 

 

 

10. 양의 정수 $m,~n$이 다음 조건을 만족한다.

 

      1)  $\gcd(m+n,~210)=1$

      2) $m^m$은 $n^n$의 배수이다.

      3) $m$은 $n$의 배수가 아니다. 

    $m+n$의 최솟값을 구하시오. 

 

 

11. 정수 $a,~b,~c,~d$에 대해 $f(x)=x^2 +ax+b, g(x)=x^2 +cx+d$라 하자. $a, b, c$의 절댓값은 $10$을

     초과하지 않으며 $g(f(2))=g(f(4))=0$을 만족하는 정수 $d$가 존재하는 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 

     구하시오. 

 

 

 

12. $149^n -2^n$이 $3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^7$으로 나누어떨어지는 최소의 양의 정수 $n$에 대해 $n$의 

     양의 약수의 개수를 구하시오. 

 

 

 

13. 점 $D$는 삼각형 $ABC$의 선분 $BC$위에 있고, $AD$는 $\angle BAC$의 이등분선이다.

     $AD$의 수직이등분선이 $\angle ABC$의 이등분선과 $\angle ACB$의 이등분선과 각각 $E,~F$에서 만난다. 

     $AB=4,~BC=5,~CA=6$일 때, $\triangle AEF$의 넓이가 $\frac{m \sqrt{n}}{p}$으로 표현된다고 할 때,

     $m+n+p$의 값을 구하시오.

     (단, $m,~p$는 서로 소인 양의 정수이고, $n$은 어떤 소수의 제곱으로도 나누어떨어지지 않는다.) 

 

 

14. 이차다항식 $P(x)$는 이차항의 계수가 $1$이고, $P(P(x))=0$을 만족하는 서로 다른 네 근 $3, 4, a, b$를 갖는다.

     $(a+b)^2$으로 가능한 값의 합을 구하시오. 

 

 

 

15. $\triangle ABC$는 예각삼각형이고 외접원을 $\omega$라고 하자. $H$는 $\triangle ABC$의 수심이고, 

     $\triangle HBC$의 외접원과 접하고 $H$를 지나는 접선이 $\omega$와 $X,~Y$에서 만날 때,

     $HA=3,~HX=2,~HY=6$일 때, $\triangle ABC$의 넓이는 $m \sqrt{n}$이 된다. $m+n$의 값을 구하시오.

     (단, $n$은 어떤 소수의 제곱으로도 나누어떨어지지 않는 양의 정수이다.)