2020 British Mathematical Olympiad Round 2

1. 수열 $a_1,~a_2,~a_3,~\cdots,~$는 $a_1 >2$이고, 다음과 같이 정의 된다. 

$a_{n+1} = \dfrac{a_n (a_n -1)}{2},~n \in \mathbb N$

   이 수열의 모든항이 홀수가 되는 $a_1$의 값을 모두 구하시오. 

 

2. 한 평면위에 적어도 네 점으로 이루어진 집합을 $S$라 하자. 집합 $S$의 어떤 세점도 일직선 위에 있지 않으며

   $S$의 세점으로 만들어지는 모든 삼각형은 외접원의 반지름의 길이가 같다.

  조건을 만족하는 모든 $S$의 집합에 대해 설명하시오. 

 

3. $2019 \times 2019$모양의 격자판이 $2019^2$개의 단위정사각형으로 이루어져 있다.

   각 단위 정사각형은 흰색 또는 검은색으로 색칠되어 있는데 $1 \le k \le 2019$인 $k$에 대해 $k^2$개의 임의의

  격자판을 선택하면 검은색으로 색칠된 단위정사각형의 개수와 흰색으로색칠된 단위정사각형의 개수의 차가 $1$이하

  일 때, 이 격자판이 밸런스 있게 색칠되었다고 할 때, 이 격자판을 밸런스 있게 색칠하는 경우의 수를 구하시오.  

 

4. 수열 $b_1 ,~b_2 ,~ \cdots~$는 $0$이 아닌 실수이고 다음과 같이 정의 된다. 

$b_{n+2} = \dfrac{b_{n+1}^2 -1}{2},~n \in \mathbb{N}$

  $b_1 =1,~ b_2 =k (1<k<2)$일 때, 주어진 범위에서 결정된 $k$에 대해 $-B \le b_n \le B$가 모든 자연수 $n$에 대해

  성립하는 상수 $B$가 존재함을 증명하고,

  또, $1<k<2$인 어떤 $k$에 대해 $b_n >2020$인 $n$의 값이 존재함을 증명하시오.