KJMO 썸네일형 리스트형 2020 South Africa 1. $a^{a}$가 $20^{19}$를 나누는 양의 정수 $a$를 모두 구하시오. 2. $10$부터 $99$까지 자연수가 각각 하나씩 쓰인 $90$장의 카드 더미를 가지고 있다. 이 더미에서 다음 조건을 만족하도록 세장 이상의 카드를 뽑는 경우의 수를 구하시오. 조건 : 하나의 숫자가 나머지 숫자의 합과 같으며, 또, 하나의 숫자를 제외한 나머지 숫자들은 모두 연속해야 한다. 3. 반지름이 $1$인 원 $O$위에 $A,\: B,\: C$가 $\angle BAC =45^{\circ}$를 만족하고 있다. $AC$와 $BO$(연장해서 만나는 것도 가능)의 교점이 $D$이고 $AB$와 $CO$$($연장해서 만나는 것도 가능)의 교점을 $E$라 하면 $BD \cdot CE =2$임을 증명하시오. 4. $64$개.. 더보기 2020 Greece National Math Olympiad 1. 다음 조건을 만족하는 실계수 다항식 $P(x),~Q(x)$를 모두 구하시오. (단, $P(x), Q(x)는 상수가 아니다.) $P((Q(x))^3)=xP(x)(Q(x))^3 $ 2. 선분 $AB$와 $AB$위의 점 $C$에 대해 $AB= 3 \times AC$를 만족하고 있다. $AC=DE=CE>AE$를 만족하는 평행사변형 $ACD$를 그렸을 때, $AC$위의 점 $Z$는 $\angle AEZ = \angle ACE $를 만족한다고 할 때, $B$를 지나고 $EC$와 수직인 선과 $D$를 지나고 $AB$에 수직인 선과 직선 $EZ$가 한점에서 만남을 증명하시오. 3. 칠판에 $1,~2,~\cdots,~2030$까지 자연수가 증가하는 순서대로 쓰여있다. 이때 이 수열에 대해 다음과 같은 조작을 할 수.. 더보기 2020 Greece Junior Math Olympiad 1. 실수 $x$에 대해 다음 부등식의 해를 구하시오. $\dfrac{(x+2)^4}{x^3} -\dfrac{(x+2)^2}{2x} \ge -\dfrac{x}{16}$ 2. 예각삼각형 $ABC$가 $AB 더보기 2019 Junior Balkan MO TST Moldova 1. 양의 정수 $n$에 대해 집합 $A=\{1,~2,~\cdots,~n \}$라 하자. $A$에서 하나의 원소를 지우고 난 후 평균이 $\dfrac{439}{13}$이 되었다고 한다. $n$의 최솟값을 구하시오. 2. 수열 $a_n, (n \in \mathbb{N})$은 $a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}(a_n -1)$, 이라고 정의 하자. 임의의 자연수 $n$에 대해 $a_1$이 정수이면 $a_n$이 정수임을 증명하시오. 3. 예각삼각형 $ABC$의 외접원 $\Omega$라고 하자. $\triangle ABO$의 외접원과 $AC$의 교점을 $X$라고 할 때, $BC$와 $XO$가 수직임을 증명하시오. 4. $n(n \ge 2)$인 자연수에 대해 $a_1 ,~a_2 ,~\cdots,~a_n$은.. 더보기 2015 Azerbaijan JBMO TST Final 1. $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $ \left( (3a^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{b} \right)^2 \right) \left( (3b^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{c} \right)^2 \right) \left( (3c^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{a} \right)^2 \right) \ge 48^3$ 2. $2013^x +2014^y =2015^z$를 만족하는 음이 아닌 정수해를 모두 구하시오. 더보기 이전 1 다음