2020 South Africa

1. $a^{a}$가 $20^{19}$를 나누는 양의 정수 $a$를 모두 구하시오.

 

2. $10$부터 $99$까지 자연수가 각각 하나씩 쓰인 $90$장의 카드 더미를 가지고 있다.

   이 더미에서 다음 조건을 만족하도록 세장 이상의 카드를 뽑는 경우의 수를 구하시오.

조건 : 하나의 숫자가 나머지 숫자의 합과 같으며, 또, 하나의 숫자를 제외한 나머지 숫자들은 모두 연속해야 한다.

 

3. 반지름이 $1$인 원 $O$위에 $A,\: B,\: C$가 $\angle BAC =45^{\circ}$를 만족하고 있다. $AC$와 $BO$(연장해서

만나는 것도 가능)의 교점이 $D$이고 $AB$와 $CO$$($연장해서 만나는 것도 가능)의 교점을 $E$라 하면

$BD \cdot CE =2$임을 증명하시오.

 

4. $64$개의 단위 정사각형으로 이루어진 $8\times 8$모양의 격자판에 흰색과 검은색이 번갈아 가면서 색칠되어 있다.

이때, $64$개의 정사각형 중 몇 개의 직사각형 모양을 이루도록 몇 개의 단위 정사각형을 선택할 때, 네 꼭짓점 부분에

있는 단위 정사각형이 모두 검은색으로 색칠되어 있으면 좋은 사각형이라고 하자. 이때, 선택된 직사각형의 변의 길이는

$1\sim 8$까지 모두 가능하며, $64$개의 각각의 단위 정사각형에 그 단위 정사각형을 포함하고 있는 좋은 사각형의

개수를 적고, 흰색 단위 정사각형에 적힌 수의 합을 $W,\: $검은색 단위 정사각형에 적힌 수의 합을 $B$라고 할 때,

$B-W$의 값을 구하시오.

 

5. $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$에서 정의되고 모든 정수 $a,\: b,\: c$에 대해 다음을 만족하는 함수를 모두 구하시오.

$f(a^{3})+f(b^{3})+f(c^{3})+3f(a+b)f(b+c)f(c+a)=(f(a+b+c))^{3}$

 

6, 다음 방정식을 만족하는 음이 아닌 정수 쌍 $(m,\: n)$을 모두 구하시오.

$20^{m}-10m^{2}+1 = 19^{n}$