2019 Nordic

1. 양의 정수로 이루어진 집합 $A$의 공집합이 아닌 부분집합의 원소의 산술평균과 기하평균이 모두 정수일 때,

   조건을 만족하면 집합 $A$는 “Meaningful”라고 한다. 다음 각 물음에 답하시오.

⑴ $2019$개의 원소로 이루어진 Meaningful한 집합이 존재하겠는가?

⑵ 무한히 많은 Meaningful이 존재하겠는가?

(단, 음이 아닌 실수 $a_{1},\: a_{2},\: \cdots ,\: a_{n}$의 기하평균은 $\sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$으로 정의 한다.)

 

 

 

2. $a,\: b,\: c$는 $c$가 빗변인 직각삼각형의 세 변이다. 다음 부등식을 증명하시오.

$3<\dfrac{c^{3}-a^{3}-b^{3}}{c(c-a)(c- b)}\le 2+\sqrt{2}$

 

 

 

3. 사각형 $ABCD$가 $\angle ACD = 2\angle CAB ,\: \angle ACB = 2\angle CA D ,\: CB=CD$일 때,

   $\angle CAB =\angle CAD$임을 증명하시오.

 

 

 

4. $n\ge 3$인 양의 정수일 때, 정 ‘$4n+1$각형의 꼭짓점중 $2n$개를 색칠하려고 한다.

   세꼭짓점이 모두 색칠된 이등변삼각형이 반드시 존재함을 증명하시오.