2020 AIME 2 (1번 ~10번)

1. $m^2 n=20^{20}$을 만족하는 양의 정수 쌍 $(m,~n)$의 개수를 구하시오. 

 

2. 평면위의 네 점 $(0,~0),~(1,~0),~(1,~1),~(0,~1)$과 같은평면위의 점 $P$는 사각형 내부에 존재한다.  
$ \left( \dfrac{5}{8},~\dfrac{3}{8} \right)$과 $P$를 연결하는 직선의 기울기가 $\dfrac{1}{2}$보다 클 확률이 $\dfrac{m}{n}$일 때, $m+n$의 값을 구하시오.
                                                                                                  (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 

 

3. $\log_{2^x}3^{20} = \log_{2^{x+3}}3^{2020}$을 만족하는 $x=\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오.
                                                                                                  (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 

 

4. $\triangle ABC, \triangle A'B'C'$은 평면위의 점 $A(0,~0),~B(0,~12),~C(16,~0)$, $A'(24,~18),~B'(36,~18),~C'(24,~2)$으로 이루어져 있다. $\triangle ABC$를 점 $(x,~y)$를 중심으로
$m$도 $(0<m<180)$회전시켜 만들어진 삼각형이 $\triangle A'B'C'$라고 할 때, $m+x+y$의 값을 구하시오. 

 

5. 양의 정수 $n$에 대해 $f(n)$은 $n$을 $4$진법으로 표현했을 때, 자릿수의 합이라고 정의 하고, $g(n)$은 $f(n)$을 $8$진법으로 표현했을 때, 자릿수의 합이라고 정의 하자. 예를 들면 $f(2020)=f(133210_4)=10=12_8$이므로,$g(2020)=3$이 된다. $g(n)$을 $16$진법으로 표현했을 때, 자리수가 숫자만 사용하여 표현되지 않는 최소의 자연수 $n$을 $N$이라 할 때, $N$을 $1000$으로 나눈 나머지를 구하시오. (단, $16$진법의 각 자릿수는 $ 0,~1,~2,~\cdots ,~9,~A, B, C, D, E, F$로 이루어져 있다.)

 

6. $t_1 =20,~t_2=21$을 만족하고 다음과 같이 정의 되는 수열을 $t_n$이라 하자. 
                           $\ t_n = \dfrac{5t_{n-1} +1}{25t_{n-2}}$, $(n \ge 3)$
$ t_{2020}=\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 

 

7. 밑면의 반지름이 $3$이고 높이가 $8$인 합동인 두 원뿔이 두 밑면이 서로 수직으로 접하도록 공간상에서 교차하고 있다.
두 원뿔의 공통인 부분에 넣을 수 있는 구의 반지름의 최댓값을 구하시오. 

 

8. $f_1 (x)=|x-1|$이고, $1$보다 큰 자연수 $n$에 대해 $f_n(x) = f_{n-1} (x-n)$을 만족할 때,
$f_n (x)=0$의 모든 실근의 합이 $500,000$보다 큰 최소의 $n$을 구하시오.

 

9.  $1,~2,~3,~4,~5,~6$을 일렬로 배열할 때 인접한 두 수의 차가 $1$이 되지 않도록 재배열하는 경우의 수를 구하시오. 

 

10. $1^3 +2^3 +\cdots +n^3$을 $n+5$로 나눌때 나머지가 $17$이 되는 양의 정수 $n$의 합을 구하시오.