2020 India National Mathematical Olympia

1. $\Gamma_1 ,~ \Gamma_2$는 반지름이 서로 다른 두 원으로 중심이 각각 $O_1 ,~O_2$이며 서로 다른 두 점 $a,~B$에서 만나고 있다.
   두 원의 중심은 서로 다른 원의 외부에 있다고 할 때,  $B$에서 $\Gamma_1$에 그은 접선이 $\Gamma_2$와 $(C \neq B)$에서 만나고
   $B$에서 $\Gamma_2$에 그은 접선이 $\Gamma_1$과 $D(\neq B)$에서 만난다. $\angle DAB$와  $\angle CAB$의 이등분선이 $\Gamma_1 ,~\Gamma_2$와
   각각 $X,~Y$에서 만날 때, $P,~Q$는 삼각형 $ACD$와 삼각형 $XAY$의 외심이라고 하자.
   $PQ$가 $O_1 O_2 $를 수직이등분함을 증명하시오. 

2.  $P(x)$는 실계수 다항식으로 모든 실수 $\theta$에 대해  $P( cos \theta +sin \theta) = P(cos \theta - sin \theta)$를 만족한다.
      $P(x)$가 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있음을 증명하시오. 
                    $P(x) = a_0 +a_1 (1-x^2)^2 +a_2 (1-x^2)^4 + \cdots +a_n (1-x^2)^{2n}$
    $n \in \mathbb{N}_0$, $a_0 ,~a_1 ,~\cdots,~a_n$은 적당한 실수이다. 

3. $ \{ 0,~1,~\cdots ,~9 \}$ 의 부분집합을 $S$라 하자. 적당한 양의 정수 $N$이 존재해서 $n>N$인 모든 정수 $n$는
   십진법으로 표현했을 때 모든 자릿수가 $S$의 원소가 되는 $a,~b$에 대해  $n=a+b$가 되는 $a,~b$를 하나 찾을 수 있다고
   할 때, $S$의 원소개수의 최솟값을 구하시오. (단, $a,~b$가 $0$으로 시작하는 것은 허용하지 않는다.)

4. $n \ge 2$인 정수이고, $1<a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n$인 $n$개의 실수 수열이  $a_1 +a_2 + \cdots + a_n =2n$을
   만족하고 있다.  다음 부등식을 증명하시오. 
                 $a_1 a_2 \cdots a_{n-1} + a_1 a_2 \cdots a_{n-2} + \cdots +a_1 a_2 +a_1 +2 \le a_1 a_2 \cdots a_n$

5. 한 평면에 거리가 같은 평행선이 무수히 많이 그려져 있다. $3$이상의 정수 $n$에 대해 정다각형의 $n$개의 꼭짓점이
   모두 서로 다른 평행선위에 있도록 정$n$각형을 그릴수 있다면 Frameable하다고 정의 하자. 다음 각질문에 답하시오. 

a) $3,~4,~6$은 Frameable 함을 증명하시오. 

b) $n \ge 7$인 모든 $n$은 Frameable 하지 않음을 증명하시오. 

c) $5$가 Frameable 한지 여부를 답하고 증명하시오. 

6. $3 \times 1$모양의 직사각형을 Stromino라고 하자. $5 \times 5$모양의 판을 $25$개의 단위정사각형으로 나누었을 때,
    $16$개의 Stromino를 판 위에 놓을 수 없음을 증명하시오. (단, 모든 Stromino는 정확히 세 단위정사각형을 덮도록 놓여야 하며, 판의 수직과 수평인 방향으로만 놓을 수 있고 모든 단위정사각형은 하나 또는 두 개의 Stromino로 덮힐수 있다.)