2020 Greece National Math Olympiad

1. 다음 조건을 만족하는 실계수 다항식 $P(x),~Q(x)$를 모두 구하시오. (단, $P(x), Q(x)는 상수가 아니다.)

$P((Q(x))^3)=xP(x)(Q(x))^3 $

 

2. 선분 $AB$와 $AB$위의 점 $C$에 대해 $AB= 3 \times AC$를 만족하고 있다. $AC=DE=CE>AE$를 만족하는
평행사변형 $ACD$를 그렸을 때,  $AC$위의 점 $Z$는 $\angle AEZ = \angle ACE $를 만족한다고 할 때, $B$를 지나고 $EC$와
수직인 선과 $D$를 지나고 $AB$에 수직인 선과 직선 $EZ$가 한점에서 만남을 증명하시오. 

 

3. 칠판에 $1,~2,~\cdots,~2030$까지 자연수가 증가하는 순서대로 쓰여있다. 이때 이 수열에 대해 
다음과 같은 조작을 할 수있다. 인접하는 두 수 $a,~b$를 지우고 $(a-b)^{2020}$을 써 넣는다.  
위와 같은 조작을 반복적으로 시행하여 마지막에 하나의 수가 남을때 까지 할때,
다음 각 수가 남는 것이 가능한지 여부를 답하고 가능하면 예시를, 불가능하면 불가능함을 증명하시오. 
1) $2020^{2020}$
2) $2021^{2020}$

 

4. 세 양의 정수 $k,~a,~b$에 대해 $A(k,`a,~b)=\dfrac{a+b}{a^2+k^2 b^2 -k^2 ab}$라고 정의 하자. 
$A(k,~a,~b)$가 양의 합성수가 되는 $a,~b$가 존재하지 않도록 하는 $k$를 모두 구하시오.