2020 AIME Ⅰ(1번~8번)

1. 아래 그림 $1$과 같이 $\triangle ABC$는 $AB=AC$이고, $D$는 선분 $AC$위에 $E$는 선분 $AB$위에 놓여 있으며 

   $AE=ED=DB=BC$를 만족하고 있다. $\angle ABC = \left(\frac{m}{n}\right)^{\circ} $라고 할 때,

   $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 정수이다.)

 

그림 1

2. 생략 

 

 

 

3. 양의 정수 $N$을 $11$진법으로 나타내면 $\overline{abc}_{11}$이고, 팔진법으로 나타내면 $\overline{1bca}_8$이

   된다. $N$의 최솟값을 십진법으로 나타낸 값을 구하시오. (단, $a,~b,~c$가 서로 다를 필요는 없다.)

 

 

 

4. 집합 $S$는 다음과 같은 성질을 만족하는 자연수 $N$을 원소로 갖는다.

 

   1) $N$의 마지막 네 자리 수는 $2,020$이다. 

   2) $N$의 마지막 네 자리 수를 지운 수는 $N$의 약수이다. 

   (즉, $42,020$은 주어진 조건을 만족하는 하나의 원소이다. $2,020$으로 끝나며, $2,020$을 지운 $4$는  $42,020$의

   약수이다.)

   $S$의 모든 원소에 대해 각 원소의 자리수의 합을 모두 더한 값을 구하시오. 

   (단, $42,020$의 자리수의 합은 $4+2+0+2+0=8$이다.)

 

 

 

5. $1$부터 $6$까지 숫자가 쓰인 여섯 장의 카드가 일렬로 놓여 있다. 이때, 여섯 장의 카드 중 한 장의 카드를 제거하면

   남은 다섯 장의 카드가 모두 증가하는 순서대로 놓여 있거나 모두 감소하는 순서대로 놓여 있게 할 수 있는

   여섯장의 카듸 배열의 개수를 구하시오. 

 

 

 

6. 평평한 책상위에 반지름이 $1$인 구멍과 반지름이 $2$인 구멍이 있고 두 구멍의 중심 사이의 거리는 $7$이다. 

   아래 그림$2$와 같이 반지름의 길이가 같은 두 개의 구가 구멍에 하나씩 딱 맞게 들어가 있는데 두 개의 구가

   접했다고 한다. 구의 반지름의 길이를 제곱을 $\frac{m}{n}$이라 할 때, $m+n$의 값을 구하시오.

   (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.)

 

그림 2

 

 

7. $11$명의 남자와 $12$명의 여자로 구성된 동아리가 있다. 동아리에서 소모임을 만들려고 하는데 소모임에는

   여자회원의 수가 남자 회원의 수보다 정확히 한명 더 많아야 하고 소모임의 인원은 $1$명 이상 $23$명 이하로

   구성된다. 

   이때, 만들 수 있는 소모임의 개수를 $N$이라고 할 때, $N$을 나누는 모든 소인수의 합을 구하시오. 

 

 

 

 

8.  몸부림이 심한 개미는 낮 동안은 계속 걸어 다니고 밤에는 계속 잠만 잔다고 한다. 그런데 몸부림이 심해서 항상 잠에서 깨어날 때면 가던 방향에서 시계 방향으로 $60^{\circ}$회전한 방향으로 깨어나고 깨어나면 그 방향 그대로 계속 해서 걸어간다고 한다. 첫째날 개미는 점 $O$로 부터 정동쪽으로  $5$만큼 낮동안 이동한 후 잠들었다. 둘째날 부터는 바로 전날 이동한 거리의 절반씩 이동한다고 할때, 개미가 도착하는 지점을 $P$라고 하자. $OP^2 =\frac{m}{n}$이라 할때, $ m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.)