2015 Azerbaijan JBMO TST Day 3

1. $a,~b,~c, \in \mathbb{R}^+, a^2 +b^2 +c^2 = 48$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. 

$a^2 \sqrt{2b^3 +16} + b^2 \sqrt{2c^2 +16} + c^2 \sqrt{2a^2 +16} \le 48^3$

 

 

 

2. 칠판에 몇 개(두 개 이상)의 수가 적혀 있다. 매 순간 임의로 두 수를 선택하여 두 수의 곱을 두 수의  합으로 나눈 값을 적는다. 

   (예를 들어 $a,~b$를 선택했으면 $\dfrac{ab}{a+b}$를 적는다.)

   이와 같은 조작을 하나의 숫자가 남을 때 까지 계속해서 반복한다고 할 때, 마지막 숫자는 숫자를 선택하는 순서와

   상관없음을 증명하시오. 

 

 

3. 삼각형 $ABC$는 $AB \neq AC$이고 $BD$는 $\angle ABC$의 각의 이등분선으로 $D$는 $AC$위의 점이다. $M$은 호 $CBA$의 중점이고, $\triangle BDM$의 외접원이 $AB$와 $K$에서 만나고 $J$는 4A$를 $K$에 대해 대칭시킨 점이다. $DJ$와 $AM$의 교점을 $O$라고 하면 $J,~B,~M,~O$는 공원점임을 증명하시오. 

 

 

4. $x^2 =y^2(x+y^4 +2y^2)$을 만족하는 정수 순서쌍  $(x,~y)$ 를 모두 구하시오.