2019 Junior Balkan MO TST Moldova

1. 양의 정수 $n$에 대해 집합 $A=\{1,~2,~\cdots,~n \}$라 하자. $A$에서 하나의 원소를 지우고 난 후

   평균이 $\dfrac{439}{13}$이 되었다고 한다. $n$의 최솟값을 구하시오. 

 

2. 수열 $a_n, (n \in \mathbb{N})$은 $a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}(a_n -1)$, 이라고 정의 하자.

   임의의 자연수 $n$에 대해 $a_1$이 정수이면 $a_n$이 정수임을 증명하시오. 

 

3. 예각삼각형 $ABC$의 외접원 $\Omega$라고 하자. $\triangle ABO$의 외접원과 $AC$의 교점을 $X$라고 할 때,

   $BC$와 $XO$가 수직임을 증명하시오. 

 

4. $n(n \ge 2)$인 자연수에 대해 $a_1 ,~a_2 ,~\cdots,~a_n$은 양의 실수열이다. 다음과 같이 $E_n$을 정의할 때, 

  $E_n$의 최솟값을 구하시오. 

 

$E_n = \dfrac{(1+a_1)(a_1+a_2)(a_2+a_3) \cdots (a_{n-1}+a_n)(a_n +3^{n+1})}{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}$

 

5. 다음을 만족하는 양의 정수 쌍을 모두 구하시오.

$ \left( \dfrac{1}{a}+1 \right) \left( \dfrac{1}{b} +1 \right) \left( \dfrac{1}{c}+1 \right) =2$

 

6. $p,~q$가 정수일 때, 모든 정수 $k$에 대해 $k^2 +pk+q>0$이면 모든 실수 $x$에 대해서도 $x^2 +px+q>0$임을

   증명하시오. 

 

 

7. 예각삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라고 하고, $A$에서 $BC$에 내린 수선의 발을 $K$라 하자. $A,~K$를 지나고 $AB,~AC$와 각각 $M,~N$에서 만나는 원을 $\Omega$라 하고, $A$를 지나고 $BC$와 평행한 선이 $\triangle AHM, \triangle AHN$의 외접원과 각각 $X,~Y$에서 만날 때, $XY=BC$임을 증명하시오. 

 

8. $n$은 홀수이고 $3$의 배수가 아닌 정$n$각형이 있다.($n \ge 3$) 이 다각형의 꼭짓점중 임의로 $m$개$(0 \le m \le n)$의 점을 선택하여 빨간색으로 색칠하고 나머지는 모두 검은색으로 색칠한다. 다각형 중 세 점을 선택하여 삼각형을 만들 때 모두 같은 색으로 색칠된 삼각형이면 그 삼각형을 "단순하다"라고 하자. ------번역중-------

 

9. 다음 방정식을 만족하는 양의 실수 $x$를 모두 구하시오. 

$ x + \left \lfloor \dfrac{x}{3} \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac{2x}{3}  \right \rfloor + \left \lfloor \dfrac{3x}{5} \right \rfloor $

 

 

10. 양의 실수 $a,~b$가 $a^5 +b^5 = a^3 +b^3$을 만족할 때, $E$의 최댓값을 구하시오. 

$E=a^2 -ab+b^2$

 

 

11.  $\angle A =90^{\circ}$인 직각삼각형 $ABC$의 내접원의 중심을 $I$라 하고, $BC$의 중점을 $M$, rmflrh $\angle BAC$의 이등분선이 $\triangle ABC$의 외접원과 $W$에서 만난다. $AB$위의 점 $U$는 $AB$와 $WU$가 수직이 되는 점이고 점 $P$는 $WU$위의 점으로 $PI$와 $WU$가  수직이 되는 점이라고 할 때, $MP$가 $CI$를 이등분함을 증명하시오. 

 

12. 다음과 같은 수 $B= \overline{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n a_1 a_2 a_3 \cdots a_n}$를 자연수 $A=\overline{a_1 a_2 \cdots a_n}$의 반복수라고 하자. 완전제곱수인 반복수가 무수히 많이 존재함을 증명하시오.