2019 Greece Junior Balkan Mathematical Olympiad TST

1. $AB>AC$인 예각 삼각형이 중심이 $O$인 원에 내접하고 있다. $BC$의 중점 $D$에서 $AB$에 내린 수선(l)의 발을 

   $E$라 하자. $AO$와 $l$이 $Z$에서 만난다고 할 때,  $A, Z, D, C$는 공원점 임을 증명하시오.  

 

 

2. $3 \cdot 2^x +4 = n^2$을 만족하는 양의 정수 쌍 $(x, n)$을 모두 구하시오. 

 

 

3. $a, b, c, \in \mathbb{R}^+$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. 

$\dfrac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\dfrac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\dfrac{1}{ca(a+1)(b+1)} \ge \dfrac{3}{(1+abc)^3}$ 

 

4. $8 \times 8$모양으로 배열된 $64$개의 단위 정사각형이 모두 흰색으로 색칠되어 있다. 이 중 임의로 $12$개를 선택

   하여 검은색으로 색칠하면 모든 검은색 단위 정사각형을 포함하고 있는 4개의 행과 4개의 열이 존재함을 증명하시오.