2019 British Round 2

1. 삼각형 ABC가 있다. 점 $B$를 지나고 $AB$와 수직인 선을 $L$이라 하고, $A$에서 $BC$에 내린 수선이 $L$과

   만나는 점을 $D$라 하고, $BC$의 수직이등분선이 $L$과 만나는 점을 $P$라 하자. $D$에서 $AC$에 내린 수선의

   발을 $E$라 할 때, $\triangle BPE$는 이등변삼각형임을 증명하시오. 

 

2. 양의 정수 $n$에 대해 $n^4$개의 단위 정사각형으로 구성된 $n^2 \times n^2$모양의 체스보드에 $n^2$개의 

   마법체스 조각을 적당히 배열한다. 신호가 울리면 모든 체스조각들은 체스보드의 다른 단위 정사각형으로 이동하며

   원래 있던 정사각형과 이동한 정사각형의 중심 사이의 거리는 $n$이다. 만약 이전 신호가 울리기 전과 후 모두 같은 

   행과 같은 열에 두 조각의 체스조각이 없다면 이긴다고 할 때, 이길 수 있는 $n$의 값을 모두 구하시오. 

 

3. $p$는 홀수인 소수일 때, $\{1,~2,~\cdots,~ , p-1\}$의 공집합이 아닌 부분집합 중 원소의 합이 $p$의 배수가 되는

 

   부분집합의 개수를 구하시오. 

 

 

4. 양의 실수집합을 $\mathbb{R}^+$라 할 때, $f~:~\mathbb{R}^+~\rightarrow \mathbb{R}^+$이고, $f(x) \le f(y)$이면 $x \le y$를 만족하고, 

$f(x^4)  +f(x^2 )+f(x)+f(1)= x^4 +x^2 +x+1 (x \in \mathbb{R}^+)$

   를 만족하는 함수 $f(x)$를 모두 구하시오.