Hongkong 2019 TST

1. 실수  $a$에 대해  $3<x<5$에서 정의된 함수 $f(x)=\dfrac{a}{x-1}+ \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-6}$가 $x=4$일 때, 

   최댓값을 갖는다고 한다. $a$의 값을 구하시오.

 

 

 

2.  원 $O$와 $O$에 내접하는 두 밑각이 $x^{\circ}$인 이등변삼각형이 있다. 임의로 원 위의 두 점을 연결하는 현을

    그을 때, 삼각형과 만날 확률이 $\dfrac{14}{25}$라고 한다. $x$의 값으로 가능한 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. 

 

 

 

3.  다음 방정식의 정수해를 구하시오. 

$ \sum_{k=1}^{10} \left\lfloor \dfrac{x}{k!} \right\rfloor =2019$

 

 

4. 예각삼각형 $ABC$는 $\angle ACB=45^{\circ}$이고, 무게중심을 $G$, 외심을 $O$라 할 때,

   $OG=1,~OC \parallel BC$를 만족한다고 한다. $BC$의 길이를 구하시오. 

 

 

5. 공간상에 서로 다른 $24$개의 점이 어떤 세 점도 일직선 위에 있지 않도록 놓여 있으며, $2109$개의 서로 다른 평면은 각 평면이 적어도 세 점을 

 

 

6. $57a+88b+125c \ge 1148$을 만족하는 양의 실수 $a,~b,~c$에 대해 다음 식의 최솟값을 구하시오. 

$a^3 +b^3 +c^3 +5a^2 +5b^2  + 5c^2 $