Bosnia and Herzegovina Junior Blakan Mathematical Olympiad 2019

1. $0$이 아닌 서로 다른 세 실수  $x,~y,~z$ 가  $\dfrac{x^2-yz}{x(1-yz)} = \dfrac{y^2-xz}{y(1-xz)}$를 만족할 때, 

   다음 등식이 성립함을 증명하시오. 

 

$x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$

 

 

 

2. 삼각형$ABC$와 $BC$위의 점 $D$는 $AD$가 $\angle A$의 이등분선이다. $B$에서 $AD$에 내린 수선이 

   $\triangle ABC$의 외접원과 $E$에서 만나고 $O$는 $\triangle ABC$의 외접원의 중심이라고 할 때, 

   $A,~O,~E$는 공선점임을 증명하시오. 

 

 

 

3. $S$는 $1$부터 $100$까지 자연수로 이루어진 집합이다. 두 명의 선수가 게임을 하는데 먼저 하는 사람이

   그가 원하는 임의의  $k$개의 수를 지우고, 두 번째 사람은 $k$개의 서로 다른 수들의 합이 $100$이 되도록

   $k$개의 수를 뽑는 게임이다.  각각의 $k$에 대해 필승전략을 가지고 있는 사람을 답하고 그때의 필승전략을

   증명하시오. 

1) $k=9$

2) $k=8$

 

 

4. 마지막 두 자리수가 모두 $3$인 수가 있다. 이 숫자는 $7$보다 큰 소인수를 반드시 가짐을 증명하시오.