Hong Kong TST 2020 #1

Test 1

1. 자연수 $n$에 대해 $n$의 모든 양의 약수를 $d_i,~(i=1,~2,~\cdots,~s)$라고 할 때, 다음을 만족하는 함수 $f~:~\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$에서 정의된 함수 $f$를 모두 구하시오. 

$f(d_1 ) \cdot f(d_2 ) \cdot \cdots \cdot f(d_s) = n$

 

2. 삼각형 $ABC$ 내부의 임의의  한 점을 $D$라 할때,   $\Gamma$는 $\triangle BCD$의 외접원이고,  $\Gamma$는 $\angle ABC$의 외각의 이등분선과 $E(\neq B)$에서 만나고, $\angle ACB$의 외각의 이등분선과는  $F(\neq C)$에서 만난다. $EF$의 연장선이 $AB,~AC$와 각각 $P,~Q$에서 만날 때,  $\triangle BFP$와 $\triangle CEQ$의 외접원은 $D$의 위치와 관계없이 항상 고정된 한 정점을 지남을 증명하시오. 

 

3. 주어진 정수 수열 $2^1 +1,~2^2+1,~2^3 +1 ,~\cdots,~2^{2019}+1$이 있다. 하늘이는 수열에서 서로 다른 두 수를 임의로 선택하여 두 수의 최대공약수를 계산한다고 한다. 하늘이가 계산한 최대공약수로 가능한 모든 값의 합을 구하시오. 

 

4, $\left \lfloor (2+\sqrt5)^p \right \rfloor -2^{p+1}$이 $p$의 배수가 되는 $100$ 보다 작은 소수 $p$의 개수를 구하시오. 

 

 

5. 삼각형 $ABC$의 변$BC$위의 점 $D$가 있다. $\triangle ABD$의 내접원을 $\omega_1$이라 하고, $\omega_1$은 $AB,~AD$와 $E,~F$에서 접하고 있다. 같은 방식으로  $\triangle ACD$의 내접원을 $\omega_2$라 하고, $AD,~AC$와 $F,~G$에서 접하고 있을 때, $EG$는 $\omega_1 ,~\omega_2$와 각각 $P,~Q$에서 만날 때, $AD$와 $P$에서 $\omega_1$에 그은 접선과  $Q$에서 $\omega_2$에 그은 접선이 한 점에서 만남을 증명하시오. 

 

6. $0$과 $1$로만 이루어진 수열이 있다. 이때, 자릿수가 연속하는 연속지수를 구하려고 한다. 연속지수는 자릿수가 연속하는 경우는 묶어서 개수를 세는 것을 의미한다. (예를 들면 $011001010$은 연속지수가 $7$이다. $0,~11,~00,~1,~0,~1,~0$), $2019$개의 $1$과 $2019$개의 $0$을 이용하여 만든 모든 수열에 대해 연속지수의 합을 구하시오.