Hong Kong 2020 TST #2

Test 2

1.  예각삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 수심을 $H$라 하자. $AI$는 $\triangle ABC$의 외접원과  $M(\neq A)$에서 만나고 $IM$의 길이가 $\triangle ABC$의 외접원의 반지름과 같을 때,  $AH \ge AI$임을 증명하시오. 

 

2. 임의의 두 점사이의 거리를 재었을 때, 거리의 개수가 $k$개의 서로 다른 값이 되게 한 평면위에 $2019$개의 서로 다른 점을 놓을 때, $k \ge 44$임을 증명하시오. 

 

3. 두 원 $\Gamma,~\Omega$ 는 서로 다른 두 점 $A, B$에서 만난다. $\Gamma$위의 점$P$에서 $\Gamma$에 그은 접선이 $\Omega$와 $C,~D$에서 만나때,  (단,  $D$는 $P$와 $C$ 사이에 있다.) $ABCD$는 볼록사각형이 된다고 한다. $CA,~CB$는 $\Gamma$와 $E,~F$에서 만나고 $DA,~DB$는 $\Gamma$와 $S,~T$에서 각각 만날 때, $\Gamma$위의 점 $P,~E,~S,~F,~B,~T,~A$가 순서대로 있다면 $PC,~ET,~SF$가 평행임을 증명하시오. 

 

4. $f~:~\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$에서 정의되고, 임의의 실수 $x,~y$에 대해 

$f(f(x)+y)+f(x+f(y))=2f(x(f(y))$

 를 만족하는 함수 $f$를 모두 구하시오.