Inequality #2 Solution

$a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$ 일 때 다음 부등식을 증명하시오. 

$\dfrac{1+bc}{a}+\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c} > \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}$

Proof

$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge a+b+c$ 가 AM-GM에 의해 성립한다. 

증명 생략 

LHS = $ \dfrac{1+bc}{a}+$$\dfrac{1+ca}{b}+$$\dfrac{1+ab}{c}$ $\ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} + a+b+c$

 $=\dfrac{a^2+1}{a}+\dfrac{b^2+1}{b}+\dfrac{c^2+1}{c} $

 $\ge  \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}$ 를 증명하자. 

그런데  $\dfrac{a^2+1}{a} > \sqrt{a^2 +2} \Leftrightarrow  (a^2 +1)^2>(a^4 +2a^2 )$

이 성립하므로 각각 더하면 주어진 부등식은 증명 되었다.                                                               $\blacksquare $