Inequality #1 Sloutions

Serbia 2017 National MO

$a,~b,~c \in \mathbb{R}^+,~a+b+c=1$을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오. 

 $a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1} \le \sqrt{2- (a^2 +b^2 +c^2)}$

Proof 

RHS : $\sqrt{2-(a^2+b^2+c^2)} = \sqrt{2ab+2bc+2ca+1}$ 

그래서

$ (2ab+2bc+2ca+1) \ge$ $(a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1})^2 $

 

을 증명하면 충분하다. 

그런데, $a+b+c=1$ 이므로,

$(2ab+2bc+2ca+1)=$ $(a+b+c)(a(2b+1)+b(2c+1)+c(2a+1)) \ge$ 

$(a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1})^2 $

Caushy-Schwarz 부등식에 의해 성립한다.