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Math/Solution & Answer

2018 AIME 1 - 11 $3^n \equiv 1 \pmod{11^2},~ 3^n \equiv 1 \pmod{13^2}$을 만족하면 된다. 먼저 $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$이 가장 작은 양의 정수이다. 그런데, $243 \equiv 1 \pmod{11^2}$을 만족해서 가장 작은 양의 정수가 $5$이고, $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$이므로, $3^{3k} = 27^{k} = (26+1)^{k} \equiv \pmatrix{k \\1} \times 26 +1 \equiv 1 \pmod{13^2}$ 을 만족해야 해서 $k$는$13$의 배수가 되어야 한다. 그러면 가장 작은 $n$은 $39$가 된다. 그래서 $n$은 $5$의 배수이고, $39$의 배수이므로, 가장 작은 $n$은 $195$가 된다. 더보기
2018 AIME 1 - 2 $n= 14^2 \times a + 14 \times b +c = 15^2 \times a + 15 \times c + b$를 만족해야 하고, $a,~c$는 $6$진법의 자리수이므로 $6$보다 작다. 그러면 $29a + 14c = 13b$를 만족해야 한다. $3a+c \equiv 0 \pmod {13}$를 만족하므로, 가능한 $(a,~c) = (3,~4), (4,~1)$만 가능하다.. 그확인하면 $(a,~b,~c)=(4,~10,~1)$일 때 성립하고, $n=925$이 된다. 더보기
2018 AIME 1 - 1 양의 정수 $a$에 대해 $p+q=a$를 만족하는 음이 아닌 정수의 집합 $\{p,~q\}$의 개수는 $\left \lfloor \dfrac{a}{2} \right \rfloor +1$개 있다 .그래서 구하고자 하는 값은 $\sum_{k=1}^{50} (k+k+1) = 51^2 -1 = 2600$이 된다. 더보기
2018 AIME 2 - 10 2018 AIME 2 - 10 $f(f(a)) = f(f(f(a)))$를 만족하고, $f(a)=a$이면 자명하다. 이때, $f(a)=b(\neq a)$라 하면$f(b)=f(f(b))$를 만족해야 한다. 그래서 $f(b)=b$이면 성립하고, $f(b)= c(\neq b)$라 하면$f(c)=c$를 만족해야 한다. 그래서 함수 $f$에 대해 $f(x)=x$를 만족하는 $x$의 개수를 기준으로 세어보자. 세 집합으로 나누어서 집합 $A$는 집합 $B$에 대응되고 집합 $B$는 집합 $C$에 대응되고, 집합 $C$는 자기 자신으로 대응 되는 개수를 구하면 된다. 편의상 $|A| + |B| +|C| = 5$이고, 순서 쌍으로 나타내기로 하자. $(3, 1, 1) =\begin{pmatrix} 5\\1\end{pma.. 더보기
2018 AIME1 12번 $3,~6,~9,~12,~15,~18$은 원소의 합이 $3$의 배수인 데 영향을 미치지 않는다. 나머지 수를 원소로 갖는 부분집합의 원소의 합이 $3$의 배수가 되는 개수를 세어 보자.약간의 치환을 이용하여 해결해보면 $i->2^i $으로 바꿨을 때, $i$가 홀수이면 $2^i$는 $3$으로 나눈 나머지가 $2$이고, 짝수이면 $3$으로 나눈 나머지가 $1$가 되어서 $1=2^0 , 2=2^1 , 4=2^2 , 5=2^3 , \cdots 17 = 2^{11} $로 치환하자. 그러면 각 부분집합의 원소의 합은 이진법으로 표현되며이때 원소의 합이 $0$부터 $4095$까지 각각 대응된다. 그래서 구하고자 하는 부분집합의 개수는 $1366$이며나머지 $3$의 배수는 각각에 대해 $2$가지 경우가 있으므로 $3.. 더보기
2018 AIME 2 - 8 더보기
Inequality #2 Solution $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$ 일 때 다음 부등식을 증명하시오. $\dfrac{1+bc}{a}+\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c} > \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}$ Proof $\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge a+b+c$ 가 AM-GM에 의해 성립한다. 증명 생략 LHS = $ \dfrac{1+bc}{a}+$$\dfrac{1+ca}{b}+$$\dfrac{1+ab}{c}$ $\ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} + a+b+c$ $=\dfrac{a^2+1}{a}+\dfrac{b^2+1}{b}+\dfrac{c^2+1}{c} $ $\ge \sq.. 더보기
Inequality #1 Sloutions Serbia 2017 National MO $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+,~a+b+c=1$을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오. $a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1} \le \sqrt{2- (a^2 +b^2 +c^2)}$ Proof RHS : $\sqrt{2-(a^2+b^2+c^2)} = \sqrt{2ab+2bc+2ca+1}$ 그래서 $ (2ab+2bc+2ca+1) \ge$ $(a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1})^2 $ 을 증명하면 충분하다. 그런데, $a+b+c=1$ 이므로, $(2ab+2bc+2ca+1)=$ $(a+b+c)(a(2b+1)+b(2c+1)+c(2a+1)) \ge$ $(a\sqrt{2b.. 더보기

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