2018 AIME 1 - 11

$3^n \equiv 1 \pmod{11^2},~ 3^n  \equiv 1 \pmod{13^2}$을 만족하면 된다. 

먼저  $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$이 가장 작은 양의 정수이다. 그런데, $243 \equiv 1 \pmod{11^2}$을 만족해서 

가장 작은 양의 정수가 $5$이고, $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$이므로, 

$3^{3k} = 27^{k} = (26+1)^{k} \equiv \pmatrix{k \\1} \times 26 +1 \equiv 1 \pmod{13^2}$ 을 만족해야 해서 $k$는

$13$의 배수가 되어야 한다. 그러면 가장 작은 $n$은 $39$가 된다. 그래서 $n$은 $5$의 배수이고, $39$의 배수이므로, 

가장 작은 $n$은 $195$가 된다.