Serbia 2017 National MO
$a,~b,~c \in \mathbb{R}^+,~a+b+c=1$을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오.
$a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1} \le \sqrt{2- (a^2 +b^2 +c^2)}$
Proof
RHS : $\sqrt{2-(a^2+b^2+c^2)} = \sqrt{2ab+2bc+2ca+1}$
그래서
$ (2ab+2bc+2ca+1) \ge$ $(a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1})^2 $
을 증명하면 충분하다.
그런데, $a+b+c=1$ 이므로,
$(2ab+2bc+2ca+1)=$ $(a+b+c)(a(2b+1)+b(2c+1)+c(2a+1)) \ge$
$(a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1})^2 $
Caushy-Schwarz 부등식에 의해 성립한다.
'Math > Solution & Answer' 카테고리의 다른 글
2018 AIME 1 - 1 (0) | 2018.03.26 |
---|---|
2018 AIME 2 - 10 (0) | 2018.03.26 |
2018 AIME1 12번 (0) | 2018.03.26 |
2018 AIME 2 - 8 (0) | 2018.03.26 |
Inequality #2 Solution (0) | 2018.03.21 |