2020 AIME 2 (1번 ~10번)
1. $m^2 n=20^{20}$을 만족하는 양의 정수 쌍 $(m,~n)$의 개수를 구하시오. 2. 평면위의 네 점 $(0,~0),~(1,~0),~(1,~1),~(0,~1)$과 같은평면위의 점 $P$는 사각형 내부에 존재한다. $ \left( \dfrac{5}{8},~\dfrac{3}{8} \right)$과 $P$를 연결하는 직선의 기울기가 $\dfrac{1}{2}$보다 클 확률이 $\dfrac{m}{n}$일 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 3. $\log_{2^x}3^{20} = \log_{2^{x+3}}3^{2020}$을 만족하는 $x=\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다...
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2020 AIME Ⅰ(9~15번)
9. 집합 $S$는 $20^9$의 모든 양의 약수를 원소로 갖는다. $S$에서 중복을 허락하여 세 수를 뽑아 $a_1 ,~a_2 ,~a_3$라 할 때, $a_1$이 $a_2$를 나누고, $a_2$가 $a_3$를 나눌 확률을 $\frac{m}{n}$이라 하자. 이때, $m$을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 10. 양의 정수 $m,~n$이 다음 조건을 만족한다. 1) $\gcd(m+n,~210)=1$ 2) $m^m$은 $n^n$의 배수이다. 3) $m$은 $n$의 배수가 아니다. $m+n$의 최솟값을 구하시오. 11. 정수 $a,~b,~c,~d$에 대해 $f(x)=x^2 +ax+b, g(x)=x^2 +cx+d$라 하자. $a, b, c$의 절댓값은 $10$을 초과하지 않으며 $..
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2018 AIME1 12번
$3,~6,~9,~12,~15,~18$은 원소의 합이 $3$의 배수인 데 영향을 미치지 않는다. 나머지 수를 원소로 갖는 부분집합의 원소의 합이 $3$의 배수가 되는 개수를 세어 보자.약간의 치환을 이용하여 해결해보면 $i->2^i $으로 바꿨을 때, $i$가 홀수이면 $2^i$는 $3$으로 나눈 나머지가 $2$이고, 짝수이면 $3$으로 나눈 나머지가 $1$가 되어서 $1=2^0 , 2=2^1 , 4=2^2 , 5=2^3 , \cdots 17 = 2^{11} $로 치환하자. 그러면 각 부분집합의 원소의 합은 이진법으로 표현되며이때 원소의 합이 $0$부터 $4095$까지 각각 대응된다. 그래서 구하고자 하는 부분집합의 개수는 $1366$이며나머지 $3$의 배수는 각각에 대해 $2$가지 경우가 있으므로 $3..
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