2018 AIME 기하

2018 AIME 1 

4.  $\triangle ABC,~AB=AC=10$이고, $BC=12$이다. 선분 $AB$ 위의 점 $D$와 선분 $AC$위의 점 $E$가 

    $AD=DE=EC$를 만족할 때, $AD$의 길이를 $\dfrac{p}{q}$라 하자. 

    $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,~q$는 서로 소인 정수이다.) 

13. $\triangle ABC$는 $AB=30,~BC=32,~AC=34$이다. 선분 $BC$ 위의 점 $X$에 대해 $\triangle ABX,~\triangle ACX$의 

     내접원의 중심을 각각 $I_1 ,~I_2 $라 하자. $\triangle {A I_1 I_2}$의 넓이의 최솟값을 구하시오. 

    

2018 AIME 2

4. 등각팔각형 CAROLINE가 $CA=RO=LI=NE = \sqrt{2}$이고, $AR=OL=IN=EC=1$을 만족한다. 

    순서대로 $CORNELIA$로 둘러싸인 팔각형(자신과 교차하는 그림)은 여섯개의 겹쳐지지 않는 삼각형으로 나누어진다. 

    $CORNELIA$의 넓이를 $K$라 할 때,  $K=\dfrac{a}{b}$라고 한다. $a+b$의 값을 구하시오.

    (단, $a,~b$는 서로 소인 양의 정수이다.)

7. $\triangle ABC$는 $AB=9,~BC=5\sqrt{3},~AC=12$이다. 

   $AB$위의 점 $A=P_0 ,~P_1,~P_2 ,~\cdots,~P_{2450} =B$가 순서대로 놓여 있고, 

   $AC$위의 점 $A=Q_0 ,~Q_1 ,~Q_2 ,~\cdots,~Q_{2450} = C$가 순서대로 놓여 있다. 또, 

   $\overline{P_k Q_k},~k=1,~2,~\cdots,~2449$는 각각 $BC$와 평행하고, $\triangle ABC$을 하나의 삼각형과 2449개의 

    사다리꼴인 2450개의 영역으로 나눈다.  이때, 2450개의 각각의 넓이가 서로 같다면

    $P_k Q_k$의 길이가 유리수인 $k$의 개수를 구하시오. 

 

9. 팔각형 $ABCDEFGH$는 $AB=CD=EF=GH=10$이고, $BC=DE=FG=HA=11$이다. 

    $23 \times 27$인 직사각형의 네 꼭짓점에서 $6-8-10$인 직각삼각형을 잘라내어 만들어진 도형이다. 

    $AH$는 그림과 같이 직사각형의 짧은 변위에 놓여 있을 때, $J$를 $AH$의 중점이라고 하자. 

  

    $JB,~JB,~JD,~JE,~JF,~JG$가 팔각형을 일곱개의 삼각형으로 나눈다. 이때, 일곱개의 삼각형의 무게중심을 꼭짓점으로 

     갖는 볼록 다각형의 넓이를 구하시오. 

12. $ABCD$는 $AB=CD=10,~BC=14,~AD=2\sqrt{65}$를 만족하는 볼록사각형이다. 

     $ABCD$의 대각선의 교점을 $P$라고 할 때, $\triangle APB$와 $\triangle CPD$의 넓이의 합은 

     $\triangle BPC$와 $\triangle APD$의 넓이의 합과 같다고 한다. 사각형 $ABCD$의 넓이를 구하시오. 

14. $\triangle ABC$의 내접원 $\omega$가 $BC$와 $X$에서 접한다. 

      $AX$가 $\omega$와 만나는 점을 $Y(Y \neq X)$라고 하고, $P,~Q$는 각각 $AB,~AC$의 점으로 $PQ는  

      $\omega$와 $Y$에서 접한다. 

       $AP=3,~PB=4,~AC=8$일 때, $AQ =\dfrac{m}{n}$일 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 정수이다.)