2018 AIME

2018 AIME 조합 

AIME 1

3. Kathy는 5장의 빨간색 카드와 5장의 녹색 카드를 가지고 있다. 그녀는 열장의 카드를 마구 섞어서 

    그중 다섯 장의 카드를 앞이 보이도록 일렬로 놓았다. 그녀가 행복해 지기 위한 필요 충분조건은 

    모든 빨간색 카드와 녹색카드는 같은색 끼리 인접하는 것이다. 예를 들면 $RRGGG,~GGGGR,~RRRRR$은 

    행복해지고, $RRRGR$은  행복해지지 않는다고 한다. 이때, 그녀가 행복해질 확률을 $\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, 

    $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 정수이다.)

7. 높이가 $2$이고 밑면과 모든 옆면이 수직인 육각 기둥이 있다. 밑 면의 육각형의 한 변의 길이가 $1$이다. 

   이 육각 기둥의 열두 꼭짓점 중 세 꼭짓점을 선택할 때, 이등변삼각형의 개수를 구하시도. (단, 정삼각형도 포함한다.)

9. 집합 $\{1,~2,~\cdots,~20\}$의 원소가 네 개인 부분집합 중 어떤 두 원소의 합이 $16$이 되고, 

    어떤 두 원소의 합이 $24$가 되는부분집합의 개수를 구하시오. 

    (예를 들면 $\{3,~5,~13,~19\},~\{6,~10,~20,~18\}$은 주어진 조건을 만족하는 두 부분집합이다.

 

10. 아래 그림과 같은 바퀴가 두 개의 원과 다섯 개의 바퀴살들로 이루어져 있다. 각 바퀴살은 두 원과 만나며 만나는 

    각 점에는 알파벳으로 라벨이 붙어 있다. 매순간 벌레 한 마리가 어느 한 라벨에서 인접한 라벨로 이동을 하고, 안쪽 원을 

    따라 이동할 때에는 시계반대방향으로 움직이고 바깥쪽 원을 따라 이동할 때에는 시계 방향으로 이동한다고 한다. 

    예를 들어 $AJABCHCHIJA$는 벌레가 이동할수 있는 $10$스텝의 이동 경로 이다. 

    $15$번의 이동경로를 따라 $A$에서 출발하여 $A$에 도착하는 경로의 수를 $n$이라 할 때, 

    $n$을 $1000$으로 나눈 나머지를 구하시오.

12. $U=\{1,~2,~\cdots,~18\}$의 각각의 부분집합을 $T$에 대해 $s(T)$는 $T$의 모든 원소의 합이라고 하자. 

    $s(\phi)$는 0으로 정의 한다. $U$의 모든 부분집합중 임의로 하나를 선택했을 때, 

    $s(t)$가 $3$의 배수일 확률이 $\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m$을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 정수이다.)

14. $S P_1 P_2 P_3 E P_4 P_5 $는 칠각형이다. 개구리 한 마리가 꼭짓점 $S$에서 출발하여 칠각형의 인접한 꼭짓점으로 이동을 한다.

    $E$를 제외한 임의의 점에서는 인접한 두 꼭짓점 중 하나의 꼭짓점으로 이동하고, $E$에 도착하면 더이상 움직이지 않는다고 한다. 

     개구리가 $12$번 이하의 점프를 하여 $E$에 있게 되는 경우의 수를 구하시오. 

AIME 2

8. 개구리 한 마리가 원점에 있다. 개구리는 $(x,~y)$로 부터 $(x+1,~y),~(x+2,~y),~(x,~y+1),~(x,~y+2)$중 

    어느 한 칸으로 이동할 수 있다. 개구리가 원점에서 출발하여 $(4,~4)$로 가는 경우의 수를 구하시오. 

10. $\{1,~2,~3,~4,~5\} \rightarrow \{1,~2,~3,~4,~5\}$에서 정의 된 함수 $f(x)$가 $f(f(x))=f(f(f(x)))$를 만족하는 

    함수의 $f$의 개수를 구하시오. 

  

15. $\{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6 \} \rightarrow \mathbb{Z}$에서 정의된 함수가 $f(0)=0,~f(6)=12$이고, 

$|x-y| \le |f(x)-f(y)| \le 3 |x-y|$

    를 만족하는 함수 $f$의 개수를 구하시오. (단, $x,~y \in \{0,~1,~2,~3,~4,~5,~6 \}$)