#1

1. 앞면과 뒷면이 나올 확률이 같은 열 개의 동전이 있다. 열 개의 동전을 동시에 던져 나온 앞면의 개수가 아홉개 이상일 때, 

   모든 동전이 앞면일 확률을 구하시오. 

2. $n(n+1)$이 완전제곱수가 되는 양의 정수 $n$이 존재하겠는가?

3. 양의 정수 $n$에 대해 다음 식이 성립함을 증명하시오. 

$\prod_{k=1}^{n}{ {\rm{lcm}} \left(1,~2,~\cdots,~ \left\lfloor \dfrac{n}{k} \right\rfloor \right)} =n! $

4. 삼각형 $ABC$와 삼각형 내부의 점 $P$가 $\angle ABP = \angle PCA$를 만족하고,  $Q$는 $P$를 $MC$의 중점에 대해 

    대칭시킨 점이다. $\angle BAP = \angle CAP$가 성립함을 증명하시오. 

5. $100$보다 큰 소수 $p$는 $\dfrac{a^{89}-1}{a-1}$가 $p$의 배수가 되는 $1$보다 큰 정수 $a$가 존재한다. 

    $p$의 최솟값을 구하시오.

6. 볼록사각형 $ABCD$는 $BC=CD$이고 원 $\Omega$에 내접한다. $ABCD$의 대각선이 $X$에서  만나고 삼각형 $BCX$의 

    외접원이 $AB$와 $Y(Y \neq B)$에서 만난다. 반직선 $\vec{CY}$가 $\Omega$와 만나는 점을 $Z(Z \neq C)$일 때, 

    $\vec{DY}$는 $\angle ZDB$의 이등분선임을 증명하시오. (단, $AD<AB$)이다. 

7. $n^2 +1$을 소인수 분해 했을 때, 모든 소인수의 지수가 $1$인 자연수 $n$이 무수히 많이 존재함을 증명하시오. 

    (즉, $n^2 +1$은 어떤 소인수의 제곱으로도 나누어떨어지지 않는다.)