부등식 썸네일형 리스트형 Inequality #2 Solution $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$ 일 때 다음 부등식을 증명하시오. $\dfrac{1+bc}{a}+\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c} > \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}$ Proof $\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge a+b+c$ 가 AM-GM에 의해 성립한다. 증명 생략 LHS = $ \dfrac{1+bc}{a}+$$\dfrac{1+ca}{b}+$$\dfrac{1+ab}{c}$ $\ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} + a+b+c$ $=\dfrac{a^2+1}{a}+\dfrac{b^2+1}{b}+\dfrac{c^2+1}{c} $ $\ge \sq.. 더보기 Inequality #1 Sloutions Serbia 2017 National MO $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+,~a+b+c=1$을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오. $a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1} \le \sqrt{2- (a^2 +b^2 +c^2)}$ Proof RHS : $\sqrt{2-(a^2+b^2+c^2)} = \sqrt{2ab+2bc+2ca+1}$ 그래서 $ (2ab+2bc+2ca+1) \ge$ $(a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1})^2 $ 을 증명하면 충분하다. 그런데, $a+b+c=1$ 이므로, $(2ab+2bc+2ca+1)=$ $(a+b+c)(a(2b+1)+b(2c+1)+c(2a+1)) \ge$ $(a\sqrt{2b.. 더보기 Inequality #2 $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$ 일 때 다음 부등식을 증명하시오. $\dfrac{1+bc}{a}+\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c} > \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}$ 더보기 Inequality #1 Serbia 2017 National MO $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+,~a+b+c=1$을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오. $a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1} \le \sqrt{2- (a^2 +b^2 +c^2)}$ 더보기 이전 1 다음