2019 Nordic 1. 양의 정수로 이루어진 집합 $A$의 공집합이 아닌 부분집합의 원소의 산술평균과 기하평균이 모두 정수일 때, 조건을 만족하면 집합 $A$는 “Meaningful”라고 한다. 다음 각 물음에 답하시오. ⑴ $2019$개의 원소로 이루어진 Meaningful한 집합이 존재하겠는가? ⑵ 무한히 많은 Meaningful이 존재하겠는가? (단, 음이 아닌 실수 $a_{1},\: a_{2},\: \cdots ,\: a_{n}$의 기하평균은 $\sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$으로 정의 한다.) 2. $a,\: b,\: c$는 $c$가 빗변인 직각삼각형의 세 변이다. 다음 부등식을 증명하시오. $3 더보기 2020 South Africa 1. $a^{a}$가 $20^{19}$를 나누는 양의 정수 $a$를 모두 구하시오. 2. $10$부터 $99$까지 자연수가 각각 하나씩 쓰인 $90$장의 카드 더미를 가지고 있다. 이 더미에서 다음 조건을 만족하도록 세장 이상의 카드를 뽑는 경우의 수를 구하시오. 조건 : 하나의 숫자가 나머지 숫자의 합과 같으며, 또, 하나의 숫자를 제외한 나머지 숫자들은 모두 연속해야 한다. 3. 반지름이 $1$인 원 $O$위에 $A,\: B,\: C$가 $\angle BAC =45^{\circ}$를 만족하고 있다. $AC$와 $BO$(연장해서 만나는 것도 가능)의 교점이 $D$이고 $AB$와 $CO$$($연장해서 만나는 것도 가능)의 교점을 $E$라 하면 $BD \cdot CE =2$임을 증명하시오. 4. $64$개.. 더보기 2020 AIME 2 (11~15) 11. $P(x)=x^2 -3x-7$이고 $Q(x),~R(x)$는 최고차 항의 계수가 $1$인 두 이차다항식이다. 하늘이가 세 다항식 $P(x)+Q(x)$,~$Q(x)+R(x)$,~$R(x)+P(x)$를 계산한 후 둘 씩 연립해보았더니 정확히 공통근이 하나씩 서로 다른 세 공통근이 존재했다. $Q(0)=2,~R(0)=\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 12. $m,~n$은 $1$보다 큰 두 홀수이고, $m \times n$모양의 직사각형을 $mn$개의 단위정사각형으로 나눈 다음 제일 위쪽의 행에 왼쪽에서 오른쪽으로 각 단위 정사각형에 $1$ 부터 $n$까지 써넣었다. 위에서 두 번째 행에도 왼쪽에서 오른쪽으로 각 단위 정사.. 더보기 이전 1 2 3 4 ··· 20 다음