2020 India National Mathematical Olympia 1. $\Gamma_1 ,~ \Gamma_2$는 반지름이 서로 다른 두 원으로 중심이 각각 $O_1 ,~O_2$이며 서로 다른 두 점 $a,~B$에서 만나고 있다. 두 원의 중심은 서로 다른 원의 외부에 있다고 할 때, $B$에서 $\Gamma_1$에 그은 접선이 $\Gamma_2$와 $(C \neq B)$에서 만나고 $B$에서 $\Gamma_2$에 그은 접선이 $\Gamma_1$과 $D(\neq B)$에서 만난다. $\angle DAB$와 $\angle CAB$의 이등분선이 $\Gamma_1 ,~\Gamma_2$와 각각 $X,~Y$에서 만날 때, $P,~Q$는 삼각형 $ACD$와 삼각형 $XAY$의 외심이라고 하자. $PQ$가 $O_1 O_2 $를 수직이등분함을 증명하시오. 2. $P(x)$는 실계수 .. 더보기 2020 British Mathematical Olympiad Round 2 1. 수열 $a_1,~a_2,~a_3,~\cdots,~$는 $a_1 >2$이고, 다음과 같이 정의 된다. $a_{n+1} = \dfrac{a_n (a_n -1)}{2},~n \in \mathbb N$ 이 수열의 모든항이 홀수가 되는 $a_1$의 값을 모두 구하시오. 2. 한 평면위에 적어도 네 점으로 이루어진 집합을 $S$라 하자. 집합 $S$의 어떤 세점도 일직선 위에 있지 않으며 $S$의 세점으로 만들어지는 모든 삼각형은 외접원의 반지름의 길이가 같다. 조건을 만족하는 모든 $S$의 집합에 대해 설명하시오. 3. $2019 \times 2019$모양의 격자판이 $2019^2$개의 단위정사각형으로 이루어져 있다. 각 단위 정사각형은 흰색 또는 검은색으로 색칠되어 있는데 $1 \le k \le 2019$.. 더보기 Hong Kong 2020 TST #2 Test 2 1. 예각삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 수심을 $H$라 하자. $AI$는 $\triangle ABC$의 외접원과 $M(\neq A)$에서 만나고 $IM$의 길이가 $\triangle ABC$의 외접원의 반지름과 같을 때, $AH \ge AI$임을 증명하시오. 2. 임의의 두 점사이의 거리를 재었을 때, 거리의 개수가 $k$개의 서로 다른 값이 되게 한 평면위에 $2019$개의 서로 다른 점을 놓을 때, $k \ge 44$임을 증명하시오. 3. 두 원 $\Gamma,~\Omega$ 는 서로 다른 두 점 $A, B$에서 만난다. $\Gamma$위의 점$P$에서 $\Gamma$에 그은 접선이 $\Omega$와 $C,~D$에서 만나때, (단, $D$는 $P$와 $C$ 사이에 있다.) $ABCD.. 더보기 이전 1 2 3 4 5 6 ··· 20 다음