2019 Junior Balkan MO TST Moldova 1. 양의 정수 $n$에 대해 집합 $A=\{1,~2,~\cdots,~n \}$라 하자. $A$에서 하나의 원소를 지우고 난 후 평균이 $\dfrac{439}{13}$이 되었다고 한다. $n$의 최솟값을 구하시오. 2. 수열 $a_n, (n \in \mathbb{N})$은 $a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}(a_n -1)$, 이라고 정의 하자. 임의의 자연수 $n$에 대해 $a_1$이 정수이면 $a_n$이 정수임을 증명하시오. 3. 예각삼각형 $ABC$의 외접원 $\Omega$라고 하자. $\triangle ABO$의 외접원과 $AC$의 교점을 $X$라고 할 때, $BC$와 $XO$가 수직임을 증명하시오. 4. $n(n \ge 2)$인 자연수에 대해 $a_1 ,~a_2 ,~\cdots,~a_n$은.. 더보기 2015 Azerbaijan JBMO TST Final 1. $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $ \left( (3a^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{b} \right)^2 \right) \left( (3b^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{c} \right)^2 \right) \left( (3c^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{a} \right)^2 \right) \ge 48^3$ 2. $2013^x +2014^y =2015^z$를 만족하는 음이 아닌 정수해를 모두 구하시오. 더보기 2015 Azerbaijan JBMO TST Day 3 1. $a,~b,~c, \in \mathbb{R}^+, a^2 +b^2 +c^2 = 48$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $a^2 \sqrt{2b^3 +16} + b^2 \sqrt{2c^2 +16} + c^2 \sqrt{2a^2 +16} \le 48^3$ 2. 칠판에 몇 개(두 개 이상)의 수가 적혀 있다. 매 순간 임의로 두 수를 선택하여 두 수의 곱을 두 수의 합으로 나눈 값을 적는다. (예를 들어 $a,~b$를 선택했으면 $\dfrac{ab}{a+b}$를 적는다.) 이와 같은 조작을 하나의 숫자가 남을 때 까지 계속해서 반복한다고 할 때, 마지막 숫자는 숫자를 선택하는 순서와 상관없음을 증명하시오. 3. 삼각형 $ABC$는 $AB \neq AC$이고 $BD$는 $\angle ABC$의 각의 이등.. 더보기 이전 1 2 3 4 5 6 7 8 ··· 20 다음