2019 Canada National Olympiad 1. 한 평면위에 세 점 $A,~B,~C$가 $AB=BC=CA=6$을 만족하고 있다. 하늘이는 이미 그려진 임의의 세 점으로 만들어지는 삼각형의 외심을 그릴 수 있다고 한다. 예를 들면 삼각형 $ABC$의 외심$O$를 그리고, 또, 삼각형$ABO$의 외심을 그릴 수 있다. 같은 방식으로 점을 계속 해서 그려나갈 수 있다. 다음 각 질문에 답하시오. 1) 하늘이는 방금전에 그렸던 점으로 부터 거리가 $7$이상 떨어진 점을 그릴 수 있음을 증명하시오. 2) 하늘이는 방금전에 그렸던 점으로 부터 거리가 $2019$이상 떨어진 점을 그릴 수 있음을 증명하시오. 2. 정수 $a,~b$에 대해 $a^2 +3ab+3b^2 -1$이 $a+b^3$을 나누면 $a^2+3ab+3b^2 -1$을 $1$보다 큰 어떤 세제곱수로.. 더보기 2019 British Round 2 1. 삼각형 ABC가 있다. 점 $B$를 지나고 $AB$와 수직인 선을 $L$이라 하고, $A$에서 $BC$에 내린 수선이 $L$과 만나는 점을 $D$라 하고, $BC$의 수직이등분선이 $L$과 만나는 점을 $P$라 하자. $D$에서 $AC$에 내린 수선의 발을 $E$라 할 때, $\triangle BPE$는 이등변삼각형임을 증명하시오. 2. 양의 정수 $n$에 대해 $n^4$개의 단위 정사각형으로 구성된 $n^2 \times n^2$모양의 체스보드에 $n^2$개의 마법체스 조각을 적당히 배열한다. 신호가 울리면 모든 체스조각들은 체스보드의 다른 단위 정사각형으로 이동하며 원래 있던 정사각형과 이동한 정사각형의 중심 사이의 거리는 $n$이다. 만약 이전 신호가 울리기 전과 후 모두 같은 행과 같은 열에 .. 더보기 2019 India National Mathematical Olympiad 1. 삼각형 ABC는 $\angle BAC =90^{\circ}$인 둔각 삼각형이다. 선분 $BC$위의 $D$와 직선 $AD$위의 $E$에 대해 삼각형 $ACD$의 외접원이 $AB$와 $A$에서 접하고, $BE$는 $AD$와 수직이다. $Ca=CD,~AE=CE$일 때, $\angle BCA$의 크기를 구하시오. 2. $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1$은 정오각형이고, $ 2 \le n \le 11 $에 대해 $A_n B_n C_n D_n E_n$은 $A_{n-1} B_{n-1} C_{n-1} D_{n-1} E_{n-1}$의 중점을 연결하여 만든 오각형이다. $11$개의 각각의 오각형의 다섯 꼭지점을 모두 빨간색과 파란색으로 임의로 색칠할 때, $55$개의 점 중 같은 색으로 색칠되어 있으며 한 원위에.. 더보기 이전 1 ··· 4 5 6 7 8 9 10 ··· 20 다음
