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2018 AIME 기하 2018 AIME 1 4. $\triangle ABC,~AB=AC=10$이고, $BC=12$이다. 선분 $AB$ 위의 점 $D$와 선분 $AC$위의 점 $E$가 $AD=DE=EC$를 만족할 때, $AD$의 길이를 $\dfrac{p}{q}$라 하자. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,~q$는 서로 소인 정수이다.) 13. $\triangle ABC$는 $AB=30,~BC=32,~AC=34$이다. 선분 $BC$ 위의 점 $X$에 대해 $\triangle ABX,~\triangle ACX$의 내접원의 중심을 각각 $I_1 ,~I_2 $라 하자. $\triangle {A I_1 I_2}$의 넓이의 최솟값을 구하시오. 2018 AIME 2 4. 등각팔각형 CAROLINE가 $CA=RO=LI=NE = \sq.. 더보기
2018 AIME 1 - 11 $3^n \equiv 1 \pmod{11^2},~ 3^n \equiv 1 \pmod{13^2}$을 만족하면 된다. 먼저 $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$이 가장 작은 양의 정수이다. 그런데, $243 \equiv 1 \pmod{11^2}$을 만족해서 가장 작은 양의 정수가 $5$이고, $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$이므로, $3^{3k} = 27^{k} = (26+1)^{k} \equiv \pmatrix{k \\1} \times 26 +1 \equiv 1 \pmod{13^2}$ 을 만족해야 해서 $k$는$13$의 배수가 되어야 한다. 그러면 가장 작은 $n$은 $39$가 된다. 그래서 $n$은 $5$의 배수이고, $39$의 배수이므로, 가장 작은 $n$은 $195$가 된다. 더보기
2018 AIME 1 - 2 $n= 14^2 \times a + 14 \times b +c = 15^2 \times a + 15 \times c + b$를 만족해야 하고, $a,~c$는 $6$진법의 자리수이므로 $6$보다 작다. 그러면 $29a + 14c = 13b$를 만족해야 한다. $3a+c \equiv 0 \pmod {13}$를 만족하므로, 가능한 $(a,~c) = (3,~4), (4,~1)$만 가능하다.. 그확인하면 $(a,~b,~c)=(4,~10,~1)$일 때 성립하고, $n=925$이 된다. 더보기

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