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Math

2018 AIME1 12번 $3,~6,~9,~12,~15,~18$은 원소의 합이 $3$의 배수인 데 영향을 미치지 않는다. 나머지 수를 원소로 갖는 부분집합의 원소의 합이 $3$의 배수가 되는 개수를 세어 보자.약간의 치환을 이용하여 해결해보면 $i->2^i $으로 바꿨을 때, $i$가 홀수이면 $2^i$는 $3$으로 나눈 나머지가 $2$이고, 짝수이면 $3$으로 나눈 나머지가 $1$가 되어서 $1=2^0 , 2=2^1 , 4=2^2 , 5=2^3 , \cdots 17 = 2^{11} $로 치환하자. 그러면 각 부분집합의 원소의 합은 이진법으로 표현되며이때 원소의 합이 $0$부터 $4095$까지 각각 대응된다. 그래서 구하고자 하는 부분집합의 개수는 $1366$이며나머지 $3$의 배수는 각각에 대해 $2$가지 경우가 있으므로 $3.. 더보기
2018 AIME 2 - 8 더보기
2018 AIME 2018 AIME 조합 AIME 1 3. Kathy는 5장의 빨간색 카드와 5장의 녹색 카드를 가지고 있다. 그녀는 열장의 카드를 마구 섞어서 그중 다섯 장의 카드를 앞이 보이도록 일렬로 놓았다. 그녀가 행복해 지기 위한 필요 충분조건은 모든 빨간색 카드와 녹색카드는 같은색 끼리 인접하는 것이다. 예를 들면 $RRGGG,~GGGGR,~RRRRR$은 행복해지고, $RRRGR$은 행복해지지 않는다고 한다. 이때, 그녀가 행복해질 확률을 $\dfrac{m}{n}$이라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 정수이다.) 7. 높이가 $2$이고 밑면과 모든 옆면이 수직인 육각 기둥이 있다. 밑 면의 육각형의 한 변의 길이가 $1$이다. 이 육각 기둥의 열두 꼭짓점 중 세 꼭짓점을 .. 더보기
#1 1. 앞면과 뒷면이 나올 확률이 같은 열 개의 동전이 있다. 열 개의 동전을 동시에 던져 나온 앞면의 개수가 아홉개 이상일 때, 모든 동전이 앞면일 확률을 구하시오. 2. $n(n+1)$이 완전제곱수가 되는 양의 정수 $n$이 존재하겠는가? 3. 양의 정수 $n$에 대해 다음 식이 성립함을 증명하시오. $\prod_{k=1}^{n}{ {\rm{lcm}} \left(1,~2,~\cdots,~ \left\lfloor \dfrac{n}{k} \right\rfloor \right)} =n! $ 4. 삼각형 $ABC$와 삼각형 내부의 점 $P$가 $\angle ABP = \angle PCA$를 만족하고, $Q$는 $P$를 $MC$의 중점에 대해 대칭시킨 점이다. $\angle BAP = \angle CAP$가 성.. 더보기
Inequality #2 Solution $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$ 일 때 다음 부등식을 증명하시오. $\dfrac{1+bc}{a}+\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c} > \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}$ Proof $\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge a+b+c$ 가 AM-GM에 의해 성립한다. 증명 생략 LHS = $ \dfrac{1+bc}{a}+$$\dfrac{1+ca}{b}+$$\dfrac{1+ab}{c}$ $\ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} + a+b+c$ $=\dfrac{a^2+1}{a}+\dfrac{b^2+1}{b}+\dfrac{c^2+1}{c} $ $\ge \sq.. 더보기
Inequality #1 Sloutions Serbia 2017 National MO $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+,~a+b+c=1$을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오. $a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1} \le \sqrt{2- (a^2 +b^2 +c^2)}$ Proof RHS : $\sqrt{2-(a^2+b^2+c^2)} = \sqrt{2ab+2bc+2ca+1}$ 그래서 $ (2ab+2bc+2ca+1) \ge$ $(a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1})^2 $ 을 증명하면 충분하다. 그런데, $a+b+c=1$ 이므로, $(2ab+2bc+2ca+1)=$ $(a+b+c)(a(2b+1)+b(2c+1)+c(2a+1)) \ge$ $(a\sqrt{2b.. 더보기
Inequality #2 $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$ 일 때 다음 부등식을 증명하시오. $\dfrac{1+bc}{a}+\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c} > \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}$ 더보기
Inequality #1 Serbia 2017 National MO $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+,~a+b+c=1$을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하시오. $a\sqrt{2b+1} + b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1} \le \sqrt{2- (a^2 +b^2 +c^2)}$ 더보기
Invariance #1 하늘이가 일정한 규칙에 맞게 격자점 위에서 뛰어 놀고 있다. $(x,~y)$로 부터 하늘이는 $(y,~x),~(3x-4y),~(-2x+5y),~(x+1,~y+6),~(x-7,~y)$중 어느 점으로만 이동할 수 있다. 하늘이가 $(0,~1)$에서 출발하여 $(0,~0)$에 도착하는 경로는 존재하지 않음을 증명하세요. 더보기
#굴러가는 삼각형 Sansu 1037삼각형 $ABC$는 $AB=3,~BC=4,~CA=5$이다. 꼭짓점 $B$가 삼각형과같은평면 위의 직선 $l$위에 놓여 있고 $A,~C$에서 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $P,~Q$라고 할 때, $AP+CQ$의 최댓값을 구하시오. 더보기

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