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Math

Hongkong 2019 TST 1. 실수 $a$에 대해 $3 더보기
Bosnia and Herzegovina Junior Blakan Mathematical Olympiad 2019 1. $0$이 아닌 서로 다른 세 실수 $x,~y,~z$ 가 $\dfrac{x^2-yz}{x(1-yz)} = \dfrac{y^2-xz}{y(1-xz)}$를 만족할 때, 다음 등식이 성립함을 증명하시오. $x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$ 2. 삼각형$ABC$와 $BC$위의 점 $D$는 $AD$가 $\angle A$의 이등분선이다. $B$에서 $AD$에 내린 수선이 $\triangle ABC$의 외접원과 $E$에서 만나고 $O$는 $\triangle ABC$의 외접원의 중심이라고 할 때, $A,~O,~E$는 공선점임을 증명하시오. 3. $S$는 $1$부터 $100$까지 자연수로 이루어진 집합이다. 두 명의 선수가 게임을 하는데 먼저 하는 사람이 그가 원하는 .. 더보기
2019 British Round 1 1. $0,~1,~2,~ \cdots,~9$를 한 번씩 사용하여 다섯 개의 두 자리 자연수를 증가하는 순서대로 적을 때, 다섯 개의 수가 모두 $3$의 배수가 되는 경우의 수를 구하시오. 2. $n \ge 3$인 자연수 $n$에 대해 n-ring를 다음과 같이 정의한다. $n$개의 양의 정수를 원형으로 배열할 때, 각각의 수에 대해 그 수와 인접한(양쪽에 각각 하나씩) 두 수와 그 수를 곱한 세수의 곱이 $n$이 되는 $n$개의 양의 정수가 존재하면 n-ring라고 한다. $3 \le n \le 2018$중 n-ring인 수의 개수를 구하시오. 3. Sam은 차가 $9$인 두 수를 곱했고, Sky는 차가 $6$인 두 수를 곱했다. 그런데 둘의 곱이 모두 T로 같았다고 할 때, 가능한 T의 값을 모두 구하.. 더보기
2018 British Round 1 하늘이는 $365$를 $1,~2,~\cdots,~365$로 나눈 나머지를 각각 적었고, 보름이는 $366$을 $1,~2,~3,~366$으로 나눈 나머지를 적었다. 하늘이가 적은 숫자의 합을 $a$, 보름이가 적은 숫자의 합을 $b$라고 할때, $a$와 $b$중 누가 얼마나 더 큰지 구하시오. $100$일의 기간 동안 정확히 여섯명의 친구들은 각각 $75$일씩 수영장에 다녀갔다. 적어도 다섯명이 수영한 날의 수를 $m$이라고 할 때, $m$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. $\triangle ABC$는 $AB=CA$이고, 변 $BC$가 가장 긴 변이다. $BC$위의 점 $N$이 $BN=AB$를 만족하며, $N$에서 $AB$에 내린 수선의 발을 $M$이라고 할 때, 직선 $MN$은 삼각형 $ABC의 둘레 길이.. 더보기
2018 AIME 대수 2018 AIME 1 2018 AIME 2 1. 일직선 위에 세 점 $A,~B,~C$가 순서대로 놓여 있다. $A$와 $C$는 $1800m$만큼 떨어져 있다. 하늘이는 보름이 보다 두 배 빠르게 달리고, 아름이는 하늘이보다 두 배 빠르게 달린다. 세 명이 $A$에서 동시에 출발하는데 하늘이는 $A$에서 출발해서 $C$를 향해 달리고, 아름이는 $B$에서 출발해서 $C$를 향해 달리고 보름이는 $C$에서 출발해서 $A$를 향해서 달린다. 보름이와 아름이가 만났을 때, 아름이는 방향을 $A$ 쪽으로 바꿔 달리기 시작했고, 아름이와 하늘이는 $B$에 동시에 도착했다고 한다. $A$와 $B$ 사이의 거리를 구하시오. 더보기
2018 AIME 기하 2018 AIME 1 4. $\triangle ABC,~AB=AC=10$이고, $BC=12$이다. 선분 $AB$ 위의 점 $D$와 선분 $AC$위의 점 $E$가 $AD=DE=EC$를 만족할 때, $AD$의 길이를 $\dfrac{p}{q}$라 하자. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,~q$는 서로 소인 정수이다.) 13. $\triangle ABC$는 $AB=30,~BC=32,~AC=34$이다. 선분 $BC$ 위의 점 $X$에 대해 $\triangle ABX,~\triangle ACX$의 내접원의 중심을 각각 $I_1 ,~I_2 $라 하자. $\triangle {A I_1 I_2}$의 넓이의 최솟값을 구하시오. 2018 AIME 2 4. 등각팔각형 CAROLINE가 $CA=RO=LI=NE = \sq.. 더보기
2018 AIME 1 - 11 $3^n \equiv 1 \pmod{11^2},~ 3^n \equiv 1 \pmod{13^2}$을 만족하면 된다. 먼저 $3^5 \equiv 1 \pmod{11}$이 가장 작은 양의 정수이다. 그런데, $243 \equiv 1 \pmod{11^2}$을 만족해서 가장 작은 양의 정수가 $5$이고, $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$이므로, $3^{3k} = 27^{k} = (26+1)^{k} \equiv \pmatrix{k \\1} \times 26 +1 \equiv 1 \pmod{13^2}$ 을 만족해야 해서 $k$는$13$의 배수가 되어야 한다. 그러면 가장 작은 $n$은 $39$가 된다. 그래서 $n$은 $5$의 배수이고, $39$의 배수이므로, 가장 작은 $n$은 $195$가 된다. 더보기
2018 AIME 1 - 2 $n= 14^2 \times a + 14 \times b +c = 15^2 \times a + 15 \times c + b$를 만족해야 하고, $a,~c$는 $6$진법의 자리수이므로 $6$보다 작다. 그러면 $29a + 14c = 13b$를 만족해야 한다. $3a+c \equiv 0 \pmod {13}$를 만족하므로, 가능한 $(a,~c) = (3,~4), (4,~1)$만 가능하다.. 그확인하면 $(a,~b,~c)=(4,~10,~1)$일 때 성립하고, $n=925$이 된다. 더보기
2018 AIME 1 - 1 양의 정수 $a$에 대해 $p+q=a$를 만족하는 음이 아닌 정수의 집합 $\{p,~q\}$의 개수는 $\left \lfloor \dfrac{a}{2} \right \rfloor +1$개 있다 .그래서 구하고자 하는 값은 $\sum_{k=1}^{50} (k+k+1) = 51^2 -1 = 2600$이 된다. 더보기
2018 AIME 2 - 10 2018 AIME 2 - 10 $f(f(a)) = f(f(f(a)))$를 만족하고, $f(a)=a$이면 자명하다. 이때, $f(a)=b(\neq a)$라 하면$f(b)=f(f(b))$를 만족해야 한다. 그래서 $f(b)=b$이면 성립하고, $f(b)= c(\neq b)$라 하면$f(c)=c$를 만족해야 한다. 그래서 함수 $f$에 대해 $f(x)=x$를 만족하는 $x$의 개수를 기준으로 세어보자. 세 집합으로 나누어서 집합 $A$는 집합 $B$에 대응되고 집합 $B$는 집합 $C$에 대응되고, 집합 $C$는 자기 자신으로 대응 되는 개수를 구하면 된다. 편의상 $|A| + |B| +|C| = 5$이고, 순서 쌍으로 나타내기로 하자. $(3, 1, 1) =\begin{pmatrix} 5\\1\end{pma.. 더보기

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