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2020 AIME Ⅰ(9~15번) 9. 집합 $S$는 $20^9$의 모든 양의 약수를 원소로 갖는다. $S$에서 중복을 허락하여 세 수를 뽑아 $a_1 ,~a_2 ,~a_3$라 할 때, $a_1$이 $a_2$를 나누고, $a_2$가 $a_3$를 나눌 확률을 $\frac{m}{n}$이라 하자. 이때, $m$을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 양의 정수이다.) 10. 양의 정수 $m,~n$이 다음 조건을 만족한다. 1) $\gcd(m+n,~210)=1$ 2) $m^m$은 $n^n$의 배수이다. 3) $m$은 $n$의 배수가 아니다. $m+n$의 최솟값을 구하시오. 11. 정수 $a,~b,~c,~d$에 대해 $f(x)=x^2 +ax+b, g(x)=x^2 +cx+d$라 하자. $a, b, c$의 절댓값은 $10$을 초과하지 않으며 $.. 더보기
2020 AIME Ⅰ(1번~8번) 1. 아래 그림 $1$과 같이 $\triangle ABC$는 $AB=AC$이고, $D$는 선분 $AC$위에 $E$는 선분 $AB$위에 놓여 있으며 $AE=ED=DB=BC$를 만족하고 있다. $\angle ABC = \left(\frac{m}{n}\right)^{\circ} $라고 할 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,~n$은 서로 소인 정수이다.) 2. 생략 3. 양의 정수 $N$을 $11$진법으로 나타내면 $\overline{abc}_{11}$이고, 팔진법으로 나타내면 $\overline{1bca}_8$이 된다. $N$의 최솟값을 십진법으로 나타낸 값을 구하시오. (단, $a,~b,~c$가 서로 다를 필요는 없다.) 4. 집합 $S$는 다음과 같은 성질을 만족하는 자연수 $N$을 원소로 갖.. 더보기
2019 Junior Balkan MO TST Moldova 1. 양의 정수 $n$에 대해 집합 $A=\{1,~2,~\cdots,~n \}$라 하자. $A$에서 하나의 원소를 지우고 난 후 평균이 $\dfrac{439}{13}$이 되었다고 한다. $n$의 최솟값을 구하시오. 2. 수열 $a_n, (n \in \mathbb{N})$은 $a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}(a_n -1)$, 이라고 정의 하자. 임의의 자연수 $n$에 대해 $a_1$이 정수이면 $a_n$이 정수임을 증명하시오. 3. 예각삼각형 $ABC$의 외접원 $\Omega$라고 하자. $\triangle ABO$의 외접원과 $AC$의 교점을 $X$라고 할 때, $BC$와 $XO$가 수직임을 증명하시오. 4. $n(n \ge 2)$인 자연수에 대해 $a_1 ,~a_2 ,~\cdots,~a_n$은.. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Final 1. $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $ \left( (3a^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{b} \right)^2 \right) \left( (3b^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{c} \right)^2 \right) \left( (3c^2 +1)^2 +2 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{a} \right)^2 \right) \ge 48^3$ 2. $2013^x +2014^y =2015^z$를 만족하는 음이 아닌 정수해를 모두 구하시오. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Day 3 1. $a,~b,~c, \in \mathbb{R}^+, a^2 +b^2 +c^2 = 48$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $a^2 \sqrt{2b^3 +16} + b^2 \sqrt{2c^2 +16} + c^2 \sqrt{2a^2 +16} \le 48^3$ 2. 칠판에 몇 개(두 개 이상)의 수가 적혀 있다. 매 순간 임의로 두 수를 선택하여 두 수의 곱을 두 수의 합으로 나눈 값을 적는다. (예를 들어 $a,~b$를 선택했으면 $\dfrac{ab}{a+b}$를 적는다.) 이와 같은 조작을 하나의 숫자가 남을 때 까지 계속해서 반복한다고 할 때, 마지막 숫자는 숫자를 선택하는 순서와 상관없음을 증명하시오. 3. 삼각형 $ABC$는 $AB \neq AC$이고 $BD$는 $\angle ABC$의 각의 이등.. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Day 2 1. $x,~y,~z \in \mathbb{R}^+_0, x+y+z=xyz$를 만족한다. 다음 부등식을 증명하시오. $2(x^2 +y^2 +z^2 ) \ge 3 (x+y+z)$ 2. $V,~Y,~Q,~A,~R$ 은 $1,~2,~3,~4,~5$를 적당히 재배열한 수이다. 다음 방정식의 모든 해를 구하시오. $\dfrac{(V+U+Q+A+R)^2}{V-U-Q+A+R} = B^{U^{Q^{A^{R}}}}$ 3. 삼각형 $ABC$는 $AB \neq AC$이고 $BC$의 중점을 $M$, 삼각형 $ABC$의 수심을 $H$라 하자. $D$는 $AH$의 중점이고, $O$는 삼각형 $BCH$의 외심일 때, $DAMO$가 평행사변형임을 증명하시오. 더보기
2015 Azerbaijan JBMO TST Day 1 1. $a,~b,~c \in \mathbb{R}^+.~a+b+c=1$일 때, 다음 부등식을 증명하시오. $\dfrac{7+2b}{1+a}+\dfrac{7+2c}{1+b}+\dfrac{7+2a}{1+c} \ge \dfrac{69}{4}$ 2. 예각삼각형 $ABC$는 $AB 더보기
2019 India National Mathematical Olympiad 1. 삼각형 ABC는 $\angle BAC =90^{\circ}$인 둔각 삼각형이다. 선분 $BC$위의 $D$와 직선 $AD$위의 $E$에 대해 삼각형 $ACD$의 외접원이 $AB$와 $A$에서 접하고, $BE$는 $AD$와 수직이다. $Ca=CD,~AE=CE$일 때, $\angle BCA$의 크기를 구하시오. 2. $A_1 B_1 C_1 D_1 E_1$은 정오각형이고, $ 2 \le n \le 11 $에 대해 $A_n B_n C_n D_n E_n$은 $A_{n-1} B_{n-1} C_{n-1} D_{n-1} E_{n-1}$의 중점을 연결하여 만든 오각형이다. $11$개의 각각의 오각형의 다섯 꼭지점을 모두 빨간색과 파란색으로 임의로 색칠할 때, $55$개의 점 중 같은 색으로 색칠되어 있으며 한 원위에.. 더보기

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